Номер 1.199, страница 32 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 1. Электрический ток. Закон Ома для полной цепи - номер 1.199, страница 32.

Условие.

1.199*. Параметры электрической цепи, схема которой изображена на рисунке 1.75, $\varepsilon_1 = 12 \text{ В}$, $r_1 = 4 \text{ Ом}$, $\varepsilon_2 = 6 \text{ В}$, $r_2 = 4 \text{ Ом}$, $R = 10 \text{ Ом}$. Найдите силу тока, протекающего через:

а) резистор;

б) источники тока.

Рис. 1.75

Решение.

Дано:

$ε_1 = 12 \text{ В}$

$r_1 = 4 \text{ Ом}$

$ε_2 = 6 \text{ В}$

$r_2 = 4 \text{ Ом}$

$R = 10 \text{ Ом}$

Найти:

$I_R$ - сила тока через резистор

$I_1$ - сила тока через первый источник

$I_2$ - сила тока через второй источник

Решение:

Для решения задачи воспользуемся методом узловых потенциалов. Примем потенциал нижнего узла (соединительного провода) равным нулю ($φ_A = 0$). Потенциал верхнего узла обозначим как $φ_B$. Напряжение на резисторе $\text{R}$ будет равно разности потенциалов $U_R = φ_B - φ_A = φ_B$.

Согласно первому правилу Кирхгофа, алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю. Запишем это правило для верхнего узла B. Будем считать токи, втекающие в узел, положительными, а вытекающие - отрицательными.

Ток $I_1$ от первого источника, втекающий в узел B, равен: $I_1 = \frac{ε_1 - φ_B}{r_1}$.

Ток $I_2$ от второго источника, втекающий в узел B, равен: $I_2 = \frac{ε_2 - φ_B}{r_2}$.

Ток $I_R$, вытекающий из узла B через резистор $\text{R}$, равен: $I_R = \frac{φ_B}{R}$.

Уравнение для узла B:

$I_1 + I_2 - I_R = 0$

$\frac{ε_1 - φ_B}{r_1} + \frac{ε_2 - φ_B}{r_2} - \frac{φ_B}{R} = 0$

Разделим почленно и сгруппируем слагаемые с $φ_B$:

$\frac{ε_1}{r_1} - \frac{φ_B}{r_1} + \frac{ε_2}{r_2} - \frac{φ_B}{r_2} - \frac{φ_B}{R} = 0$

$\frac{ε_1}{r_1} + \frac{ε_2}{r_2} = φ_B (\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{R})$

Выразим потенциал $φ_B$:

$φ_B = \frac{\frac{ε_1}{r_1} + \frac{ε_2}{r_2}}{\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{R}}$

Подставим числовые значения:

$\frac{ε_1}{r_1} = \frac{12 \text{ В}}{4 \text{ Ом}} = 3 \text{ А}$

$\frac{ε_2}{r_2} = \frac{6 \text{ В}}{4 \text{ Ом}} = 1.5 \text{ А}$

$\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{R} = \frac{1}{4 \text{ Ом}} + \frac{1}{4 \text{ Ом}} + \frac{1}{10 \text{ Ом}} = 0.25 + 0.25 + 0.1 = 0.6 \text{ Ом}^{-1}$

$φ_B = \frac{3 \text{ А} + 1.5 \text{ А}}{0.6 \text{ Ом}^{-1}} = \frac{4.5 \text{ А}}{0.6 \text{ Ом}^{-1}} = 7.5 \text{ В}$

Теперь можем найти силы токов в каждой ветви.

а) резистор

Сила тока, протекающего через резистор $\text{R}$, направлена от узла с большим потенциалом ($φ_B$) к узлу с меньшим ($φ_A=0$), то есть сверху вниз.

$I_R = \frac{φ_B}{R} = \frac{7.5 \text{ В}}{10 \text{ Ом}} = 0.75 \text{ А}$

Ответ: сила тока через резистор равна 0.75 А.

б) источники тока

Найдем ток, протекающий через первый источник. Это ток $I_1$, втекающий в узел B.

$I_1 = \frac{ε_1 - φ_B}{r_1} = \frac{12 \text{ В} - 7.5 \text{ В}}{4 \text{ Ом}} = \frac{4.5 \text{ В}}{4 \text{ Ом}} = 1.125 \text{ А}$

Так как $I_1 > 0$, ток течет в направлении действия ЭДС (отрицательный полюс -> положительный полюс внутри источника), то есть первый источник разряжается.

Найдем ток, протекающий через второй источник. Это ток $I_2$, втекающий в узел B.

$I_2 = \frac{ε_2 - φ_B}{r_2} = \frac{6 \text{ В} - 7.5 \text{ В}}{4 \text{ Ом}} = \frac{-1.5 \text{ В}}{4 \text{ Ом}} = -0.375 \text{ А}$

Знак минус означает, что ток течет в направлении, противоположном тому, которое мы приняли за положительное (втекание в узел B). Таким образом, ток $I_2$ на самом деле вытекает из узла B и течет через второй источник против его ЭДС (от положительного полюса к отрицательному внутри источника). Это означает, что второй источник заряжается. Сила тока, протекающего через него, равна 0.375 А.

Ответ: сила тока через первый источник $I_1 = 1.125$ А (источник разряжается); сила тока через второй источник $I_2 = 0.375$ А (источник заряжается).