Номер 1.193, страница 31 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 1. Электрический ток. Закон Ома для полной цепи - номер 1.193, страница 31.

Условие.

1.193*. Когда два последовательно соединённых резистора сопротивлениями $R_1$ и $R_2$ подключены к клеммам источника тока, то напряжения на них равны $U_1 = 5 \text{ В}$ и $U_2 = 15 \text{ В}$. Когда же к источнику подключили только первый резистор, то напряжение на нём оказалось 18 В. Найдите ЭДС источника тока.

Решение.

Дано:

$U_1 = 5$ В

$U_2 = 15$ В

$U'_1 = 18$ В

Все величины даны в системе СИ.

Найти:

$\mathcal{E}$

Решение:

Пусть ЭДС источника тока равна $\mathcal{E}$, а его внутреннее сопротивление — $\text{r}$. Сопротивления резисторов обозначим как $R_1$ и $R_2$.

Рассмотрим первый случай, когда резисторы соединены последовательно. Через них протекает один и тот же ток $I_1$. По закону Ома для участка цепи:

$U_1 = I_1 R_1$

$U_2 = I_1 R_2$

Из этих уравнений можно найти соотношение между сопротивлениями:

$\frac{R_2}{R_1} = \frac{U_2}{U_1} = \frac{15 \text{ В}}{5 \text{ В}} = 3$, следовательно, $R_2 = 3R_1$.

Напряжение на клеммах источника (напряжение на внешней цепи) $U_{внешн1}$ равно сумме напряжений на резисторах:

$U_{внешн1} = U_1 + U_2 = 5 \text{ В} + 15 \text{ В} = 20 \text{ В}$.

Это напряжение связано с ЭДС источника и его внутренним сопротивлением по закону Ома для полной цепи: $U_{внешн1} = \mathcal{E} - I_1 r$.

Ток $I_1$ можно выразить через параметры первого резистора: $I_1 = \frac{U_1}{R_1} = \frac{5}{R_1}$.

Подставив это выражение для тока в формулу для напряжения на клеммах, получим первое уравнение:

$20 = \mathcal{E} - \left(\frac{5}{R_1}\right) r \implies \mathcal{E} = 20 + 5 \frac{r}{R_1} \quad (1)$

Рассмотрим второй случай, когда к источнику подключен только резистор $R_1$. Ток в цепи в этом случае равен $I_2$. Напряжение на клеммах источника $U_{внешн2}$ равно напряжению на резисторе $R_1$, то есть $U_{внешн2} = U'_1 = 18$ В.

Снова применяем закон Ома для полной цепи: $U_{внешн2} = \mathcal{E} - I_2 r$.

Ток $I_2$ равен: $I_2 = \frac{U'_1}{R_1} = \frac{18}{R_1}$.

Подставляя ток во второе уравнение, получаем:

$18 = \mathcal{E} - \left(\frac{18}{R_1}\right) r \implies \mathcal{E} = 18 + 18 \frac{r}{R_1} \quad (2)$

Мы получили систему из двух уравнений (1) и (2) относительно двух неизвестных: $\mathcal{E}$ и отношения $\frac{r}{R_1}$. Приравняем правые части этих уравнений:

$20 + 5 \frac{r}{R_1} = 18 + 18 \frac{r}{R_1}$

Решим полученное уравнение относительно отношения $\frac{r}{R_1}$:

$20 - 18 = 18 \frac{r}{R_1} - 5 \frac{r}{R_1}$

$2 = 13 \frac{r}{R_1}$

$\frac{r}{R_1} = \frac{2}{13}$

Наконец, подставим найденное значение отношения в любое из уравнений для $\mathcal{E}$, например, в уравнение (1):

$\mathcal{E} = 20 + 5 \left(\frac{2}{13}\right) = 20 + \frac{10}{13} = \frac{260}{13} + \frac{10}{13} = \frac{270}{13}$ В.

Ответ: $\mathcal{E} = \frac{270}{13}$ В.