Номер 1.191, страница 31 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 1. Электрический ток. Закон Ома для полной цепи - номер 1.191, страница 31.

Условие.

1.191*. К контактам батарейки с некоторым внутренним сопротивлением присоединён резистор сопротивлением $\text{R}$, при этом через батарейку течёт ток силой $I_1$. Параллельно этому резистору подключают второй такой же резистор, и сила тока, текущего через батарейку, изменяется в 1,5 раза. После этого второй резистор отключают и подсоединяют его последовательно с первым резистором. В результате через батарейку начинает течь ток силой $I_3$. Чему равно отношение $I_3/I_1$?

Рис. 1.70

Решение.

Дано:

Сопротивление первого резистора: $R_1 = R$

Сопротивление второго резистора: $R_2 = R$

Отношение токов при подключении второго резистора параллельно: $I_2 / I_1 = 1,5$

Найти:

Отношение токов $I_3 / I_1$, где $I_3$ - ток при последовательном соединении резисторов.

Решение:

Обозначим ЭДС батарейки как $\mathcal{E}$, а её внутреннее сопротивление как $\text{r}$.

1. Когда к батарейке подключен один резистор с сопротивлением $\text{R}$, сила тока в цепи $I_1$ определяется по закону Ома для полной цепи:

$I_1 = \frac{\mathcal{E}}{R + r}$

2. Когда к первому резистору параллельно подключают второй такой же резистор, общее сопротивление внешней цепи $R_{пар}$ становится:

$R_{пар} = \frac{R \cdot R}{R + R} = \frac{R^2}{2R} = \frac{R}{2}$

Сила тока $I_2$, текущего через батарейку, в этом случае равна:

$I_2 = \frac{\mathcal{E}}{R_{пар} + r} = \frac{\mathcal{E}}{R/2 + r}$

По условию задачи, $I_2 = 1,5 \cdot I_1$. Подставим выражения для токов:

$\frac{\mathcal{E}}{R/2 + r} = 1,5 \cdot \frac{\mathcal{E}}{R + r}$

Сократим $\mathcal{E}$ и преобразуем уравнение:

$R + r = 1,5 \cdot (R/2 + r)$

$R + r = 0,75R + 1,5r$

$R - 0,75R = 1,5r - r$

$0,25R = 0,5r$

Отсюда находим соотношение между внешним и внутренним сопротивлениями:

$R = 2r$

3. Когда два резистора соединяют последовательно, общее сопротивление внешней цепи $R_{посл}$ становится:

$R_{посл} = R + R = 2R$

Сила тока $I_3$, текущего через батарейку, в этом случае равна:

$I_3 = \frac{\mathcal{E}}{R_{посл} + r} = \frac{\mathcal{E}}{2R + r}$

4. Теперь найдем искомое отношение $I_3 / I_1$:

$\frac{I_3}{I_1} = \frac{\mathcal{E} / (2R + r)}{\mathcal{E} / (R + r)} = \frac{R + r}{2R + r}$

Подставим в это выражение найденное ранее соотношение $R = 2r$ (или, что то же самое, $r = R/2$):

$\frac{I_3}{I_1} = \frac{R + R/2}{2R + R/2} = \frac{1,5R}{2,5R} = \frac{1,5}{2,5} = \frac{15}{25} = \frac{3}{5} = 0,6$

Ответ: Отношение $I_3 / I_1$ равно 0,6.