Номер 1.200, страница 32 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 1. Электрический ток. Закон Ома для полной цепи - номер 1.200, страница 32.

Условие.

1.200*. Схема электрической цепи изображена на рисунке 1.76. Найдите силу тока, протекающего через резисторы, если:

а) $ \mathcal{E}_1 = \mathcal{E}_2 = 12 \text{ В}, R_1 = 12 \text{ Ом}, R_2 = R_3 = 6 \text{ Ом}$, внутреннее сопротивление источников тока пренебрежимо мало;

б) $ \mathcal{E}_1 = 12 \text{ В}, r_1 = 1 \text{ Ом}, \mathcal{E}_2 = 6 \text{ В}, r_2 = 2 \text{ Ом}, R_1 = 7 \text{ Ом}, R_2 = 17 \text{ Ом}, R_3 = 12 \text{ Ом}$.

Рис. 1.76

Решение.

а) Дано:

$\mathscr{E}_1 = 12$ В

$\mathscr{E}_2 = 12$ В

$R_1 = 12$ Ом

$R_2 = 6$ Ом

$R_3 = 6$ Ом

$r_1 = 0$ Ом

$r_2 = 0$ Ом

Найти:

$I_1, I_2, I_3$ - силы тока через резисторы $R_1, R_2, R_3$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся законами Кирхгофа. Направим токи $I_1$ и $I_2$ от положительных полюсов источников к верхнему узлу, а ток $I_3$ - от верхнего узла вниз через резистор $R_3$.

Согласно первому закону Кирхгофа для верхнего узла, сумма токов, входящих в узел, равна сумме токов, выходящих из него:

$I_1 + I_2 = I_3$

Применим второй закон Кирхгофа (правило контуров). Для левого контура (обход по часовой стрелке):

$\mathscr{E}_1 = I_1 R_1 + I_3 R_3$

Для правого контура (обход против часовой стрелки):

$\mathscr{E}_2 = I_2 R_2 + I_3 R_3$

Получаем систему из трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

$ \begin{cases} I_1 + I_2 = I_3 \\ \mathscr{E}_1 = I_1 R_1 + I_3 R_3 \\ \mathscr{E}_2 = I_2 R_2 + I_3 R_3 \end{cases} $

Подставляем числовые значения для случая а):

$ \begin{cases} I_1 + I_2 = I_3 \\ 12 = I_1 \cdot 12 + I_3 \cdot 6 \\ 12 = I_2 \cdot 6 + I_3 \cdot 6 \end{cases} $

Из третьего уравнения выразим $I_2$ через $I_3$:

$6 I_2 = 12 - 6 I_3 \implies I_2 = 2 - I_3$

Подставим полученное выражение для $I_2$ в первое уравнение, чтобы выразить $I_1$ через $I_3$:

$I_1 + (2 - I_3) = I_3 \implies I_1 = 2 I_3 - 2$

Теперь подставим выражение для $I_1$ во второе уравнение системы:

$12 = 12(2 I_3 - 2) + 6 I_3$

$12 = 24 I_3 - 24 + 6 I_3$

$30 I_3 = 36$

$I_3 = \frac{36}{30} = 1.2$ А

Теперь, зная $I_3$, найдем остальные токи:

$I_1 = 2 \cdot 1.2 - 2 = 2.4 - 2 = 0.4$ А

$I_2 = 2 - 1.2 = 0.8$ А

Все токи получились положительными, это означает, что изначально выбранные направления токов совпадают с действительными.

Ответ: сила тока через резистор $R_1$ равна $0.4$ А, через резистор $R_2$ – $0.8$ А, через резистор $R_3$ – $1.2$ А.

б) Дано:

$\mathscr{E}_1 = 12$ В

$r_1 = 1$ Ом

$\mathscr{E}_2 = 6$ В

$r_2 = 2$ Ом

$R_1 = 7$ Ом

$R_2 = 17$ Ом

$R_3 = 12$ Ом

Найти:

$I_1, I_2, I_3$ - силы тока через резисторы $R_1, R_2, R_3$.

Решение:

Используем ту же систему уравнений, составленную по законам Кирхгофа, но с учетом внутренних сопротивлений источников. Направления токов выбираем так же, как в пункте а).

$ \begin{cases} I_1 + I_2 = I_3 \\ \mathscr{E}_1 = I_1 (R_1 + r_1) + I_3 R_3 \\ \mathscr{E}_2 = I_2 (R_2 + r_2) + I_3 R_3 \end{cases} $

Подставляем числовые значения для случая б):

$ \begin{cases} I_1 + I_2 = I_3 \\ 12 = I_1 (7 + 1) + I_3 \cdot 12 \implies 12 = 8 I_1 + 12 I_3 \\ 6 = I_2 (17 + 2) + I_3 \cdot 12 \implies 6 = 19 I_2 + 12 I_3 \end{cases} $

Для решения системы подставим $I_3$ из первого уравнения во второе и третье:

$12 = 8 I_1 + 12(I_1 + I_2) \implies 12 = 20 I_1 + 12 I_2$

$6 = 19 I_2 + 12(I_1 + I_2) \implies 6 = 12 I_1 + 31 I_2$

Упростим первое из полученных уравнений, разделив обе части на 4:

$3 = 5 I_1 + 3 I_2$

Теперь имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

$ \begin{cases} 5 I_1 + 3 I_2 = 3 \\ 12 I_1 + 31 I_2 = 6 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $I_1$:

$5 I_1 = 3 - 3 I_2 \implies I_1 = \frac{3 - 3 I_2}{5}$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$12 \left( \frac{3 - 3 I_2}{5} \right) + 31 I_2 = 6$

Умножим обе части уравнения на 5, чтобы избавиться от знаменателя:

$12(3 - 3 I_2) + 155 I_2 = 30$

$36 - 36 I_2 + 155 I_2 = 30$

$119 I_2 = -6$

$I_2 = -\frac{6}{119}$ А $\approx -0.05$ А

Отрицательный знак означает, что реальное направление тока $I_2$ противоположно выбранному (т.е. ток через резистор $R_2$ течет не к узлу, а от него, слева направо).

Найдем ток $I_1$:

$I_1 = \frac{3 - 3(-\frac{6}{119})}{5} = \frac{3 + \frac{18}{119}}{5} = \frac{\frac{3 \cdot 119 + 18}{119}}{5} = \frac{357+18}{5 \cdot 119} = \frac{375}{595} = \frac{75}{119}$ А $\approx 0.63$ А

Положительное значение $I_1$ подтверждает, что его направление было выбрано верно.

Найдем ток $I_3$:

$I_3 = I_1 + I_2 = \frac{75}{119} - \frac{6}{119} = \frac{69}{119}$ А $\approx 0.58$ А

Положительное значение $I_3$ подтверждает, что его направление было выбрано верно.

Ответ: сила тока через резистор $R_1$ равна $I_1 = \frac{75}{119}$ А $\approx 0.63$ А (направлен слева направо); сила тока через резистор $R_2$ равна $|I_2| = \frac{6}{119}$ А $\approx 0.05$ А (направлен слева направо); сила тока через резистор $R_3$ равна $I_3 = \frac{69}{119}$ А $\approx 0.58$ А (направлен сверху вниз).