Номер 1.203, страница 33 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 1. Электрический ток. Закон Ома для полной цепи - номер 1.203, страница 33.

Условие.

1.203*. Схема электрической цепи изображена на рисунке 1.79. Найдите силу тока в резисторах, если: $ \mathcal{E}_1 = \mathcal{E}_2 = 12 \, \text{В}$, $r_1 = r_2 = 2 \, \text{Ом}$, $ \mathcal{E}_3 = \mathcal{E}_4 = 6 \, \text{В}$, $r_3 = r_4 = 3 \, \text{Ом}$, $R_1 = 8 \, \text{Ом}$, $R_2 = 3 \, \text{Ом}$, $R_3 = R_4 = 2 \, \text{Ом}$.

Рис. 1.79

Решение.

Дано:

$\mathscr{E}_1 = \mathscr{E}_2 = 12$ В

$r_1 = r_2 = 2$ Ом

$\mathscr{E}_3 = \mathscr{E}_4 = 6$ В

$r_3 = r_4 = 3$ Ом

$R_1 = 8$ Ом

$R_2 = 3$ Ом

$R_3 = R_4 = 2$ Ом

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Силу тока в резисторах $R_1, R_2, R_3, R_4$.

Решение:

Электрическая схема состоит из трех параллельных ветвей, подключенных к узлам А (верхний) и В (нижний). Для нахождения токов в ветвях определим напряжение $U_{AB} = \phi_A - \phi_B$ между узлами. Это можно сделать, используя метод узловых потенциалов (или метод эквивалентного генератора). Напряжение на зажимах параллельных ветвей равно:

$U_{AB} = \frac{\sum_{k=1}^{3} \frac{\mathscr{E}_{k}}{R_{Tk}}}{\sum_{k=1}^{3} \frac{1}{R_{Tk}}}$

где $\mathscr{E}_k$ — ЭДС в k-ой ветви, а $R_{Tk}$ — полное сопротивление k-ой ветви. Будем считать ЭДС положительной, если она направлена от узла B к узлу A (вверх по схеме).

Рассчитаем параметры для каждой ветви:

1. Первая ветвь: полное сопротивление $R_{T1} = R_1 + r_1 = 8 \text{ Ом} + 2 \text{ Ом} = 10$ Ом. ЭДС $\mathscr{E}_1 = 12$ В.

2. Вторая ветвь: полное сопротивление $R_{T2} = R_2 + r_2 = 3 \text{ Ом} + 2 \text{ Ом} = 5$ Ом. ЭДС $\mathscr{E}_2 = 12$ В.

3. Третья ветвь: источники $\mathscr{E}_3$ и $\mathscr{E}_4$ включены встречно. ЭДС $\mathscr{E}_3$ направлена от B к A, а $\mathscr{E}_4$ — от A к B. Суммарная ЭДС $\mathscr{E}_{T3} = \mathscr{E}_3 - \mathscr{E}_4 = 6 \text{ В} - 6 \text{ В} = 0$ В. Полное сопротивление $R_{T3} = R_3 + r_3 + R_4 + r_4 = 2 \text{ Ом} + 3 \text{ Ом} + 2 \text{ Ом} + 3 \text{ Ом} = 10$ Ом.

Подставляем значения в формулу для напряжения:

$U_{AB} = \frac{\frac{12 \text{ В}}{10 \text{ Ом}} + \frac{12 \text{ В}}{5 \text{ Ом}} + \frac{0 \text{ В}}{10 \text{ Ом}}}{\frac{1}{10 \text{ Ом}} + \frac{1}{5 \text{ Ом}} + \frac{1}{10 \text{ Ом}}} = \frac{1.2 \text{ А} + 2.4 \text{ А}}{0.1 \text{ Ом}^{-1} + 0.2 \text{ Ом}^{-1} + 0.1 \text{ Ом}^{-1}} = \frac{3.6 \text{ А}}{0.4 \text{ Ом}^{-1}} = 9$ В.

Поскольку $U_{AB} > 0$, потенциал узла A выше потенциала узла B.

Теперь, зная напряжение, можем найти ток в каждой ветви по закону Ома для полной цепи (для одной ветви). Ток $I_k$, текущий в направлении действия ЭДС (от В к А), находится по формуле:

$I_k = \frac{\mathscr{E}_k - U_{AB}}{R_{Tk}}$

Сила тока в резисторе равна модулю тока в соответствующей ветви.

Сила тока в резисторе $R_1$

Ток в первой ветви:

$I_1 = \frac{\mathscr{E}_1 - U_{AB}}{R_{T1}} = \frac{12 \text{ В} - 9 \text{ В}}{10 \text{ Ом}} = 0.3$ А.

Ток $I_1$ положителен, значит, он течет в направлении действия ЭДС $\mathscr{E}_1$ (вверх по схеме). Сила тока в резисторе $R_1$ равна $0.3$ А.

Ответ: $0.3$ А.

Сила тока в резисторе $R_2$

Ток во второй ветви:

$I_2 = \frac{\mathscr{E}_2 - U_{AB}}{R_{T2}} = \frac{12 \text{ В} - 9 \text{ В}}{5 \text{ Ом}} = 0.6$ А.

Ток $I_2$ положителен, значит, он течет в направлении действия ЭДС $\mathscr{E}_2$ (вверх по схеме). Сила тока в резисторе $R_2$ равна $0.6$ А.

Ответ: $0.6$ А.

Сила тока в резисторах $R_3$ и $R_4$

Ток в третьей ветви:

$I_3 = \frac{\mathscr{E}_{T3} - U_{AB}}{R_{T3}} = \frac{0 \text{ В} - 9 \text{ В}}{10 \text{ Ом}} = -0.9$ А.

Знак "минус" означает, что ток течет в направлении, противоположном принятому для ЭДС (то есть от А к В, вниз по схеме). Резисторы $R_3$ и $R_4$ соединены последовательно, поэтому ток через них одинаков и равен по модулю $|I_3|$.

Ответ: сила тока в резисторе $R_3$ равна $0.9$ А, сила тока в резисторе $R_4$ равна $0.9$ А.