Номер 1.210, страница 35 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 1. Электрический ток. Закон Ома для полной цепи - номер 1.210, страница 35.

Условие.

1.210**. Определите разность потенциалов между точками $\text{a}$ и $\text{b}$ в схеме, показанной на рисунке 1.86.

Рис. 1.86

Решение.

Дано:

Емкости конденсаторов: $C_1$, $C_2$

ЭДС источников: $\mathcal{E}_1$, $\mathcal{E}_2$

Схемы на рисунке 1.86.

Найти:

Разность потенциалов $\phi_a - \phi_b$ для каждой схемы.

Решение:

В установившемся режиме, когда конденсаторы полностью заряжены, постоянный ток в цепи отсутствует. Задачу можно решить, используя метод узловых потенциалов. Для удобства примем потенциал точки $\text{b}$ равным нулю: $\phi_b = 0$.

а)

Рассмотрим схему а. В этой схеме положительные полюсы источников $\mathcal{E}_1$ и $\mathcal{E}_2$ соединены в точке $\text{b}$. Обозначим потенциалы точек, к которым подключены внешние обкладки конденсаторов, через $\phi_1$ (для левой обкладки $C_1$) и $\phi_2$ (для правой обкладки $C_2$).

Потенциал $\phi_1$ можно найти, двигаясь от точки $\text{b}$ (с потенциалом 0) к левой обкладке $C_1$ через источник $\mathcal{E}_1$. При движении от положительного полюса к отрицательному потенциал уменьшается на величину ЭДС:

$\phi_1 = \phi_b - \mathcal{E}_1 = 0 - \mathcal{E}_1 = -\mathcal{E}_1$

Аналогично, потенциал $\phi_2$ находим, двигаясь от точки $\text{b}$ к правой обкладке $C_2$ через источник $\mathcal{E}_2$. При движении от положительного полюса к отрицательному потенциал также уменьшается:

$\phi_2 = \phi_b - \mathcal{E}_2 = 0 - \mathcal{E}_2 = -\mathcal{E}_2$

Участок цепи, соединяющий правую обкладку конденсатора $C_1$ и левую обкладку конденсатора $C_2$ (включая точку $\text{a}$), является электрически изолированным. Если предположить, что до подключения к источникам конденсаторы были не заряжены, то суммарный заряд на этом участке должен оставаться равным нулю.

Пусть $Q_1$ – заряд на левой обкладке конденсатора $C_1$, а $Q_2$ – заряд на левой обкладке конденсатора $C_2$. Тогда на правых обкладках будут заряды $-Q_1$ и $-Q_2$ соответственно. Заряды определяются как $Q=C(\phi_{обкладки1} - \phi_{обкладки2})$.

$Q_1 = C_1(\phi_1 - \phi_a)$

$Q_2 = C_2(\phi_a - \phi_2)$

Условие электронейтральности для изолированного участка (сумма зарядов на правой обкладке $C_1$ и левой обкладке $C_2$ равна нулю):

$-Q_1 + Q_2 = 0 \implies Q_1 = Q_2$

Подставим выражения для зарядов:

$C_1(\phi_1 - \phi_a) = C_2(\phi_a - \phi_2)$

Теперь подставим найденные значения потенциалов $\phi_1$ и $\phi_2$:

$C_1(-\mathcal{E}_1 - \phi_a) = C_2(\phi_a - (-\mathcal{E}_2))$

$-C_1\mathcal{E}_1 - C_1\phi_a = C_2\phi_a + C_2\mathcal{E}_2$

Сгруппируем члены с $\phi_a$:

$-C_1\mathcal{E}_1 - C_2\mathcal{E}_2 = \phi_a(C_1 + C_2)$

Отсюда находим потенциал точки $\text{a}$:

$\phi_a = -\frac{C_1\mathcal{E}_1 + C_2\mathcal{E}_2}{C_1 + C_2}$

Поскольку мы приняли $\phi_b = 0$, искомая разность потенциалов $\phi_a - \phi_b$ равна $\phi_a$.

Ответ: $\phi_a - \phi_b = -\frac{C_1\mathcal{E}_1 + C_2\mathcal{E}_2}{C_1 + C_2}$

б)

Рассмотрим схему б. Здесь положительный полюс источника $\mathcal{E}_1$ соединен с отрицательным полюсом источника $\mathcal{E}_2$ в точке $\text{b}$. Снова примем $\phi_b = 0$.

Определим потенциалы $\phi_1$ и $\phi_2$.

Двигаясь от точки $\text{b}$ к левой обкладке $C_1$ через источник $\mathcal{E}_1$ (от '+' к '-'), получаем:

$\phi_1 = \phi_b - \mathcal{E}_1 = 0 - \mathcal{E}_1 = -\mathcal{E}_1$

Двигаясь от точки $\text{b}$ к правой обкладке $C_2$ через источник $\mathcal{E}_2$ (от '-' к '+'), получаем:

$\phi_2 = \phi_b + \mathcal{E}_2 = 0 + \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}_2$

Условие равенства зарядов $Q_1 = Q_2$ остается в силе:

$C_1(\phi_1 - \phi_a) = C_2(\phi_a - \phi_2)$

Подставим найденные значения $\phi_1$ и $\phi_2$:

$C_1(-\mathcal{E}_1 - \phi_a) = C_2(\phi_a - \mathcal{E}_2)$

$-C_1\mathcal{E}_1 - C_1\phi_a = C_2\phi_a - C_2\mathcal{E}_2$

Сгруппируем члены:

$C_2\mathcal{E}_2 - C_1\mathcal{E}_1 = \phi_a(C_1 + C_2)$

Отсюда находим потенциал точки $\text{a}$:

$\phi_a = \frac{C_2\mathcal{E}_2 - C_1\mathcal{E}_1}{C_1 + C_2}$

Искомая разность потенциалов $\phi_a - \phi_b$ равна $\phi_a$.

Ответ: $\phi_a - \phi_b = \frac{C_2\mathcal{E}_2 - C_1\mathcal{E}_1}{C_1 + C_2}$