Номер 3.114, страница 71 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 3. Электромагнетизм. Электромагнитная индукция - номер 3.114, страница 71.

Условие.

3.114*. Квадратная проволочная рамка со стороной 10 см находится в однородном магнитном поле. На рисунке 3.49 показан график зависимости проекции вектора магнитной индукции на нормаль к плоскости рамки от времени. За время наблюдения 10 с в рамке выделилось количество теплоты 0,1 мДж. Найдите сопротивление рамки.

Рис. 3.49

Решение.

Дано:
Квадратная рамка
Сторона рамки, $a = 10 \text{ см} = 0,1 \text{ м}$
Время наблюдения, $t_{общ} = 10 \text{ с}$
Выделившееся количество теплоты, $Q = 0,1 \text{ мДж} = 0,1 \cdot 10^{-3} \text{ Дж} = 10^{-4} \text{ Дж}$
График зависимости $B_n(t)$.

Найти:
Сопротивление рамки, $\text{R}$ - ?

Решение:
Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, при изменении магнитного потока $\Phi$ через контур, в нем возникает ЭДС индукции:
$\varepsilon_i = - \frac{d\Phi}{dt}$
Магнитный поток через рамку определяется как $\Phi = B_n \cdot S$, где $\text{S}$ — площадь рамки, а $B_n$ — проекция вектора магнитной индукции на нормаль к плоскости рамки. Так как рамка неподвижна, ее площадь $\text{S}$ постоянна.
$S = a^2 = (0,1 \text{ м})^2 = 0,01 \text{ м}^2$.
Тогда ЭДС индукции равна: $\varepsilon_i = - S \frac{dB_n}{dt}$.
Выделившееся в рамке количество теплоты $\text{Q}$ по закону Джоуля-Ленца равно $Q = \int_0^{t_{общ}} P(t) dt$, где $P = \frac{\varepsilon_i^2}{R}$ - мгновенная мощность.

На графике зависимость $B_n(t)$ является кусочно-линейной. Это означает, что на каждом из линейных участков производная $\frac{dB_n}{dt}$ постоянна, а значит постоянны ЭДС $\varepsilon_i$ и мощность $\text{P}$. Поэтому общее количество теплоты можно найти как сумму теплот, выделившихся на каждом участке:$Q = Q_1 + Q_2 + Q_3 = \frac{\varepsilon_{i1}^2}{R} \Delta t_1 + \frac{\varepsilon_{i2}^2}{R} \Delta t_2 + \frac{\varepsilon_{i3}^2}{R} \Delta t_3$.
Отсюда выражаем искомое сопротивление $\text{R}$:
$R = \frac{1}{Q} \left( \varepsilon_{i1}^2 \Delta t_1 + \varepsilon_{i2}^2 \Delta t_2 + \varepsilon_{i3}^2 \Delta t_3 \right)$.

Разобьем процесс на три интервала в соответствии с графиком.
1. Интервал $t \in [0; 4]$ с ($\Delta t_1 = 4$ с):
Скорость изменения магнитной индукции: $\frac{\Delta B_{n1}}{\Delta t_1} = \frac{0,5 \text{ Тл} - 0 \text{ Тл}}{4 \text{ с} - 0 \text{ с}} = 0,125 \text{ Тл/с}$.
ЭДС индукции: $\varepsilon_{i1} = - S \frac{\Delta B_{n1}}{\Delta t_1} = - 0,01 \text{ м}^2 \cdot 0,125 \text{ Тл/с} = -0,00125 \text{ В}$.

2. Интервал $t \in [4; 9]$ с ($\Delta t_2 = 5$ с):
Скорость изменения магнитной индукции: $\frac{\Delta B_{n2}}{\Delta t_2} = \frac{-0,4 \text{ Тл} - 0,5 \text{ Тл}}{9 \text{ с} - 4 \text{ с}} = \frac{-0,9 \text{ Тл}}{5 \text{ с}} = -0,18 \text{ Тл/с}$.
ЭДС индукции: $\varepsilon_{i2} = - S \frac{\Delta B_{n2}}{\Delta t_2} = - 0,01 \text{ м}^2 \cdot (-0,18 \text{ Тл/с}) = 0,0018 \text{ В}$.

3. Интервал $t \in [9; 10]$ с ($\Delta t_3 = 1$ с):
На этом участке магнитная индукция постоянна (подразумевается, что график далее не изменяется), следовательно, $\frac{\Delta B_{n3}}{\Delta t_3} = 0$, и ЭДС индукции $\varepsilon_{i3} = 0$.

Теперь вычислим сопротивление $\text{R}$:
$R = \frac{1}{10^{-4} \text{ Дж}} \left( (-0,00125 \text{ В})^2 \cdot 4 \text{ с} + (0,0018 \text{ В})^2 \cdot 5 \text{ с} + 0 \right)$
$R = 10^4 \frac{1}{\text{Дж}} \left( (1,5625 \cdot 10^{-6} \text{ В}^2) \cdot 4 \text{ с} + (3,24 \cdot 10^{-6} \text{ В}^2) \cdot 5 \text{ с} \right)$
$R = 10^4 \left( 6,25 \cdot 10^{-6} + 16,2 \cdot 10^{-6} \right) \frac{\text{В}^2 \cdot \text{с}}{\text{Дж}}$
$R = 10^4 \cdot (22,45 \cdot 10^{-6}) \text{ Ом} = 0,2245 \text{ Ом}$.

Ответ: $R \approx 0,22 \text{ Ом}$.