Номер 3.117, страница 72 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 3. Электромагнетизм. Электромагнитная индукция в движущемся проводнике - номер 3.117, страница 72.

Условие.

3.117. Возникает ли разность потенциалов между концами а и с крыльев самолёта (рис. 3.51) при его равномерном прямолинейном движении в магнитном поле Земли? Можно ли измерить эту разность потенциалов вольтметром, находящимся в самолёте, подсоединив его к концам крыльев? Можно ли использовать эту разность потенциалов для измерения скорости самолёта?

Рис. 3.51

Решение.

Возникает ли разность потенциалов между концами a и c крыльев самолёта (рис. 3.51) при его равномерном прямолинейном движении в магнитном поле Земли?

Решение

Да, разность потенциалов возникает. Самолёт и его крылья, являющиеся проводником, движутся в магнитном поле Земли. Свободные носители заряда (электроны) в металле крыльев движутся вместе с самолётом со скоростью $ \vec{v} $. На каждый такой заряд $ q $ со стороны магнитного поля $ \vec{B} $ действует сила Лоренца:

$ \vec{F}_L = q(\vec{v} \times \vec{B}) $

Согласно рисунку, вектор скорости $ \vec{v} $ направлен горизонтально, а вектор магнитной индукции $ \vec{B} $ — вертикально вверх. Используя правило правой руки для векторного произведения, определим направление вектора $ \vec{v} \times \vec{B} $. Оно будет направлено перпендикулярно плоскости векторов $ \vec{v} $ и $ \vec{B} $, от конца крыла c к концу a (из-за плоскости чертежа на нас).

Электроны имеют отрицательный заряд ($ q = -e $), поэтому сила Лоренца, действующая на них, будет направлена в противоположную сторону, то есть от конца крыла a к концу c. Под действием этой силы электроны начнут перемещаться и скапливаться на конце крыла c. Соответственно, на конце крыла a возникнет недостаток электронов, то есть избыточный положительный заряд.

Такое разделение зарядов создаёт внутри проводника (крыла) электрическое поле $ \vec{E} $, направленное от положительно заряженного конца a к отрицательно заряженному концу c. Это поле, в свою очередь, создаёт электрическую силу $ \vec{F}_E = q\vec{E} $, действующую на электроны в направлении, противоположном силе Лоренца.

Перераспределение зарядов прекратится, когда электрическая сила уравновесит магнитную силу Лоренца: $ \vec{F}_E + \vec{F}_L = 0 $. Между концами крыльев установится разность потенциалов (ЭДС индукции), модуль которой при условии, что векторы $ \vec{v} $, $ \vec{B} $ и ось крыла взаимно перпендикулярны, равен:

$ \mathcal{E} = BvL $

где $ L $ — размах крыльев (расстояние между точками a и c). Потенциал конца крыла a будет выше, чем потенциал конца c.

Ответ: Да, возникает.

Можно ли измерить эту разность потенциалов вольтметром, находящимся в самолёте, подсоединив его к концам крыльев?

Решение

Нет, измерить эту разность потенциалов вольтметром, который находится в самолёте, нельзя. Для измерения необходимо подключить вольтметр к точкам a и c, создав замкнутую цепь: крыло – провод вольтметра – вольтметр – другой провод.

Весь этот контур (включая вольтметр и соединительные провода) движется вместе с самолётом в магнитном поле Земли с той же скоростью $ \vec{v} $. Поэтому ЭДС индукции будет наводиться не только в крыле самолёта, но и в проводах, ведущих к вольтметру.

Рассмотрим замкнутый контур, образованный крылом и цепью вольтметра. Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, полная ЭДС в замкнутом контуре равна скорости изменения магнитного потока через этот контур:

$ \mathcal{E}_{контур} = - \frac{d\Phi_B}{dt} $

Поскольку самолёт движется равномерно и прямолинейно в однородном магнитном поле Земли, площадь контура и магнитная индукция, пронизывающая его, не изменяются со временем. Следовательно, магнитный поток $ \Phi_B $ через контур остаётся постоянным.

$ \frac{d\Phi_B}{dt} = 0 $

Это означает, что суммарная ЭДС в замкнутом контуре равна нулю. ЭДС, индуцированная в крыле, в точности компенсируется ЭДС, индуцированной в остальной части цепи (в проводах вольтметра), так как они движутся в том же поле с той же скоростью, но обход контура происходит в противоположном направлении. Вольтметр, включённый в такую цепь, покажет нулевое значение.

Ответ: Нет, нельзя.

Можно ли использовать эту разность потенциалов для измерения скорости самолёта?

Решение

Теоретически, формула для ЭДС индукции $ \mathcal{E} = BvL $ связывает разность потенциалов со скоростью самолёта $ v $. Если бы можно было измерить $ \mathcal{E} $, а также зная размах крыльев $ L $ и индукцию магнитного поля Земли $ B $, можно было бы вычислить скорость:

$ v = \frac{\mathcal{E}}{BL} $

Однако, как было показано в предыдущем пункте, измерить эту разность потенциалов $ \mathcal{E} $ с помощью прибора, находящегося на борту самолёта и образующего с крыльями замкнутый контур, невозможно. Из-за компенсации ЭДС в измерительной цепи, бортовой прибор покажет ноль.

Для измерения потребовался бы прибор, который не движется вместе с самолётом, или более сложная измерительная схема, не основанная на простом подключении вольтметра. В рамках поставленного вопроса, подразумевающего использование бортовых приборов, данное явление не может быть практически применено для измерения скорости.

Ответ: Нет, нельзя, так как эту разность потенциалов невозможно измерить с помощью приборов, находящихся на борту самолёта.