Номер 3.110, страница 71 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 3. Электромагнетизм. Электромагнитная индукция - номер 3.110, страница 71.

Условие.

3.110. В магнитное поле с индукцией 0,1 Тл помещён круговой виток радиусом 3,4 см. Виток сделан из медной проволоки, площадь поперечного сечения которой 1 мм². Плоскость витка перпендикулярна линиям индукции. Найдите заряд, прошедший через поперечное сечение витка, при исчезновении поля.

Решение.

Дано

Индукция магнитного поля, $B = 0.1$ Тл
Радиус витка, $r = 3.4$ см
Площадь поперечного сечения проволоки, $S_{сеч} = 1$ мм²
Материал витка - медь. Удельное сопротивление меди, $\rho = 1.7 \cdot 10^{-8}$ Ом·м
Конечная индукция магнитного поля, $B_{кон} = 0$ Тл

Перевод в систему СИ:
$r = 3.4 \cdot 10^{-2}$ м
$S_{сеч} = 1 \cdot (10^{-3})^2$ м² $= 10^{-6}$ м²

Найти:

$\text{q}$ - заряд, прошедший через поперечное сечение витка.

Решение

При изменении магнитного потока через контур в нем возникает индукционный ток. Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, ЭДС индукции $ \mathcal{E}_i $ равна скорости изменения магнитного потока $ \Phi $: $ \mathcal{E}_i = - \frac{\Delta\Phi}{\Delta t} $

Магнитный поток $ \Phi $ через виток площадью $ S_{витка} $ определяется как $ \Phi = B \cdot S_{витка} \cdot \cos\alpha $, где $ \alpha $ - угол между вектором магнитной индукции $ \vec{B} $ и нормалью к плоскости витка. По условию, плоскость витка перпендикулярна линиям индукции, значит, $ \alpha = 0^\circ $ и $ \cos\alpha = 1 $. Тогда $ \Phi = B \cdot S_{витка} $.

При исчезновении поля индукция меняется от $ B $ до $\text{0}$, поэтому изменение магнитного потока составляет: $ \Delta\Phi = \Phi_{кон} - \Phi_{нач} = 0 - B \cdot S_{витка} = -B \cdot S_{витка} $

ЭДС индукции по модулю: $ |\mathcal{E}_i| = \left|-\frac{-B \cdot S_{витка}}{\Delta t}\right| = \frac{B \cdot S_{витка}}{\Delta t} $

Сила индукционного тока $ I_i $ по закону Ома для полной цепи равна $ I_i = \frac{|\mathcal{E}_i|}{R} $, где $ R $ — сопротивление витка. $ I_i = \frac{B \cdot S_{витка}}{R \cdot \Delta t} $

Заряд $ q $, прошедший через поперечное сечение проводника за время $ \Delta t $, равен $ q = I_i \cdot \Delta t $. Подставив выражение для тока, получим: $ q = \frac{B \cdot S_{витка}}{R \cdot \Delta t} \cdot \Delta t = \frac{B \cdot S_{витка}}{R} $

Площадь кругового витка $ S_{витка} = \pi r^2 $. Сопротивление проволоки $ R $ найдем по формуле $ R = \rho \frac{L}{S_{сеч}} $, где $ L $ — длина проволоки, а $ S_{сеч} $ — площадь её поперечного сечения. Длина проволоки равна длине окружности витка: $ L = 2\pi r $. Тогда $ R = \rho \frac{2\pi r}{S_{сеч}} $.

Подставим выражения для $ S_{витка} $ и $ R $ в формулу для заряда: $ q = \frac{B \cdot (\pi r^2)}{\rho \frac{2\pi r}{S_{сеч}}} = \frac{B \cdot \pi r^2 \cdot S_{сеч}}{2\pi r \rho} $

Сократив $ \pi $ и $ r $, получим конечную формулу для расчета: $ q = \frac{B \cdot r \cdot S_{сеч}}{2 \rho} $

Выполним вычисления: $ q = \frac{0.1 \, \text{Тл} \cdot 3.4 \cdot 10^{-2} \, \text{м} \cdot 10^{-6} \, \text{м}^2}{2 \cdot 1.7 \cdot 10^{-8} \, \text{Ом} \cdot \text{м}} = \frac{0.34 \cdot 10^{-8}}{3.4 \cdot 10^{-8}} \, \text{Кл} = 0.1 \, \text{Кл} $

Ответ: $q = 0.1$ Кл.