Номер 3.109, страница 70 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 3. Электромагнетизм. Электромагнитная индукция - номер 3.109, страница 70.

Условие.

3.109. Четыре одинаковые проволоки, длиной $\text{L}$ каждая, связанные шарнирами, образуют квадрат, помещённый в магнитное поле с индукцией $\text{B}$ (рис. 3.48). Сопротивление каждой проволоки равно $\text{R}$. Какой заряд протечёт через поперечное сечение одной из проволок, если противоположные вершины квадрата будут растягивать до тех пор, пока он из состояния 1 не перейдёт в состояние 2?

Рис. 3.48

Решение.

Дано:

Длина каждой проволоки: $\text{L}$

Сопротивление каждой проволоки: $\text{R}$

Индукция магнитного поля: $\text{B}$

Начальная форма контура: квадрат (состояние 1)

Конечная форма контура: прямая линия (состояние 2)

Найти:

Заряд, протекший через поперечное сечение одной из проволок: $\text{q}$

Решение:

При изменении формы контура в магнитном поле изменяется магнитный поток, пронизывающий этот контур. Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, это изменение потока приводит к возникновению индукционной ЭДС в контуре:

$\mathcal{E}_{ind} = - \frac{d\Phi_B}{dt}$

где $\Phi_B$ – магнитный поток. Эта ЭДС создает в контуре индукционный ток $\text{I}$. По закону Ома для замкнутой цепи:

$I = \frac{|\mathcal{E}_{ind}|}{R_{общ}}$

где $R_{общ}$ – полное сопротивление контура. Контур состоит из четырех одинаковых проволок сопротивлением $\text{R}$ каждая, соединенных последовательно. Следовательно, общее сопротивление контура равно:

$R_{общ} = R + R + R + R = 4R$

Индукционный ток по определению – это скорость протекания заряда: $I = \frac{dq}{dt}$.

Объединяя эти выражения, получим:

$\frac{dq}{dt} = \frac{1}{R_{общ}} |\mathcal{E}_{ind}| = \frac{1}{4R} |\frac{d\Phi_B}{dt}|$

Проинтегрировав это выражение по времени всего процесса, найдем полный заряд $\text{q}$, протекший через контур:

$q = \int I dt = \frac{1}{4R} \int |d\Phi_B| = \frac{|\Delta \Phi_B|}{4R}$

Магнитный поток $\Phi_B$ через плоский контур площадью $\text{S}$, помещенный в однородное магнитное поле $\text{B}$, перпендикулярное плоскости контура, равен $\Phi_B = B \cdot S$.

В начальном состоянии 1 контур представляет собой квадрат со стороной $\text{L}$. Его площадь $S_1 = L^2$. Начальный магнитный поток:

$\Phi_1 = B \cdot S_1 = B L^2$

В конечном состоянии 2 контур представляет собой сложенную вдвое линию, его площадь равна нулю: $S_2 = 0$. Конечный магнитный поток:

$\Phi_2 = B \cdot S_2 = 0$

Изменение магнитного потока за время процесса равно:

$\Delta \Phi_B = \Phi_2 - \Phi_1 = 0 - B L^2 = -B L^2$

Модуль изменения магнитного потока: $|\Delta \Phi_B| = B L^2$.

Теперь можем найти искомый заряд, подставив значение $|\Delta \Phi_B|$ в формулу для $\text{q}$:

$q = \frac{B L^2}{4R}$

Так как все проволоки соединены последовательно, через поперечное сечение каждой из них протекает один и тот же заряд, равный полному заряду, прошедшему по контуру.

Ответ: $q = \frac{B L^2}{4R}$