Номер 3.104, страница 69 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 3. Электромагнетизм. Электромагнитная индукция - номер 3.104, страница 69.

Условие.

3.104. Магнитный поток, пронизывающий виток радиусом 5 см, изменился на 18,6 мВб за 5,9 мс. Какова напряжённость вихревого электрического поля в витке?

Решение.

Дано:

Радиус витка, $r = 5$ см

Изменение магнитного потока, $\Delta\Phi = 18,6$ мВб

Промежуток времени, $\Delta t = 5,9$ мс

Система СИ:

$r = 5 \cdot 10^{-2}$ м $= 0,05$ м

$\Delta\Phi = 18,6 \cdot 10^{-3}$ Вб

$\Delta t = 5,9 \cdot 10^{-3}$ с

Найти:

Напряженность вихревого электрического поля, $\text{E}$

Решение:

Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, при изменении магнитного потока, пронизывающего замкнутый контур, в этом контуре возникает электродвижущая сила (ЭДС) индукции. Величина ЭДС индукции $\mathcal{E}_{i}$ равна модулю скорости изменения магнитного потока $\Phi$:

$\mathcal{E}_{i} = \left| -\frac{d\Phi}{dt} \right|$

Для конечных изменений за малый промежуток времени $\Delta t$ это соотношение можно записать в виде:

$\mathcal{E}_{i} \approx \frac{\Delta\Phi}{\Delta t}$

С другой стороны, ЭДС индукции определяется работой вихревого электрического поля по перемещению единичного заряда вдоль контура и равна циркуляции вектора напряженности электрического поля $\vec{E}$ по этому контуру $\text{L}$:

$\mathcal{E}_{i} = \oint_L \vec{E} \cdot d\vec{l}$

В случае круглого витка радиусом $\text{r}$ линии напряженности электрического поля являются концентрическими окружностями. Модуль напряженности $\text{E}$ одинаков во всех точках витка, а вектор $\vec{E}$ направлен по касательной. Поэтому циркуляция равна произведению модуля напряженности $\text{E}$ на длину окружности контура $L = 2\pi r$:

$\mathcal{E}_{i} = E \cdot L = E \cdot 2\pi r$

Приравнивая два выражения для ЭДС индукции, получаем формулу для расчета напряженности поля:

$E \cdot 2\pi r = \frac{\Delta\Phi}{\Delta t}$

Отсюда выражаем искомую величину $\text{E}$:

$E = \frac{\Delta\Phi}{2\pi r \Delta t}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$E = \frac{18,6 \cdot 10^{-3} \text{ Вб}}{2\pi \cdot 0,05 \text{ м} \cdot 5,9 \cdot 10^{-3} \text{ с}}$

Сократим множители $10^{-3}$:

$E = \frac{18,6}{2\pi \cdot 0,05 \cdot 5,9} \frac{\text{Вб}}{\text{м} \cdot \text{с}}$

Проведем вычисления:

$E = \frac{18,6}{0,59\pi} \approx \frac{18,6}{1,8535} \approx 10,035 \text{ В/м}$

Учитывая, что наименьшее число значащих цифр в исходных данных равно двум (в значении времени $\Delta t = 5,9$ мс), округлим результат до двух значащих цифр.

Ответ: $E \approx 10$ В/м.