Номер 3.98, страница 68 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 3. Электромагнетизм. Электромагнитная индукция - номер 3.98, страница 68.

Условие.

3.98. Магнитный поток, пронизывающий катушку, изменяется со временем, как показано на графике (рис. 3.45).

а) Найдите максимальное значение ЭДС индукции, если в катушке 400 витков.

б) Начертите график зависимости ЭДС индукции, наводимой в катушке, от времени.

Рис. 3.45

Решение.

Задача решается с помощью закона электромагнитной индукции Фарадея, который гласит, что ЭДС индукции $E_{ind}$, возникающая в замкнутом контуре, пропорциональна скорости изменения магнитного потока $\Phi$ через поверхность, ограниченную этим контуром. Для катушки, содержащей $\text{N}$ витков, формула имеет вид:

$E_{ind} = -N \frac{d\Phi}{dt}$

Знак «минус» в формуле отражает правило Ленца. На графике зависимости $\Phi(t)$ скорость изменения потока $\frac{d\Phi}{dt}$ численно равна тангенсу угла наклона графика. На участках, где зависимость линейна, скорость изменения потока постоянна и может быть рассчитана как отношение изменения потока $\Delta\Phi$ к промежутку времени $\Delta t$.

Решим задачу для каждого из представленных графиков (а, б, в).

Для графика а

Дано:
Число витков: $N = 400$.
График зависимости магнитного потока $\Phi(t)$ (рис. 3.45 а).
Максимальный магнитный поток: $\Phi_{max} = 1$ мВб.

$1 \text{ мВб} = 1 \cdot 10^{-3} \text{ Вб}$

Найти:
а) $E_{max}$ — максимальное значение ЭДС индукции.
б) График зависимости $E_{ind}(t)$.

Решение:
Разобьем график $\Phi(t)$ на три участка и для каждого рассчитаем ЭДС индукции.

1. Участок $t \in (0; 0,1)$ с.
Магнитный поток линейно возрастает от $\Phi_1 = 0$ до $\Phi_2 = 1 \text{ мВб}$.
Скорость изменения потока: $\frac{\Delta\Phi}{\Delta t} = \frac{(1 - 0) \cdot 10^{-3} \text{ Вб}}{0,1 \text{ с}} = 0,01 \text{ Вб/с}$.
ЭДС индукции: $E_1 = -N \frac{\Delta\Phi}{\Delta t} = -400 \cdot 0,01 \text{ В} = -4 \text{ В}$.

2. Участок $t \in (0,1; 0,3)$ с.
Магнитный поток постоянен: $\Phi = 1 \text{ мВб}$, следовательно, $\frac{\Delta\Phi}{\Delta t} = 0$.
ЭДС индукции: $E_2 = 0 \text{ В}$.

3. Участок $t \in (0,3; 0,4)$ с.
Магнитный поток линейно убывает от $\Phi_3 = 1 \text{ мВб}$ до $\Phi_4 = 0$.
Скорость изменения потока: $\frac{\Delta\Phi}{\Delta t} = \frac{(0 - 1) \cdot 10^{-3} \text{ Вб}}{0,4 \text{ с} - 0,3 \text{ с}} = -0,01 \text{ Вб/с}$.
ЭДС индукции: $E_3 = -N \frac{\Delta\Phi}{\Delta t} = -400 \cdot (-0,01 \text{ В}) = 4 \text{ В}$.

а) Найдите максимальное значение ЭДС индукции, если в катушке 400 витков.
ЭДС индукции принимает значения -4 В, 0 В и 4 В. Максимальное по модулю значение ЭДС индукции составляет $|E_{max}| = 4 \text{ В}$.

б) Начертите график зависимости ЭДС индукции, наводимой в катушке, от времени.
График зависимости $E_{ind}(t)$ представляет собой ступенчатую функцию:
- при $t \in (0; 0,1)$ с, $E_{ind} = -4 \text{ В}$;
- при $t \in (0,1; 0,3)$ с, $E_{ind} = 0 \text{ В}$;
- при $t \in (0,3; 0,4)$ с, $E_{ind} = 4 \text{ В}$.

Ответ: а) максимальное значение ЭДС индукции равно 4 В; б) график ЭДС — ступенчатая функция, принимающая значения -4 В на интервале (0; 0,1) с, 0 В на интервале (0,1; 0,3) с и 4 В на интервале (0,3; 0,4) с.

Для графика б

Дано:
Число витков: $N = 400$.
График зависимости магнитного потока $\Phi(t)$ (рис. 3.45 б).
Максимальный магнитный поток: $\Phi_{max} = 1$ мВб.

$1 \text{ мВб} = 1 \cdot 10^{-3} \text{ Вб}$

Найти:
а) $E_{max}$ — максимальное значение ЭДС индукции.
б) График зависимости $E_{ind}(t)$.

Решение:
График $\Phi(t)$ является периодическим. Рассмотрим один период $T = 0,2$ с.

1. Участок $t \in (0; 0,1)$ с (и аналогичные интервалы, например, $(0,2; 0,3)$ с).
Магнитный поток линейно возрастает от 0 до 1 мВб. Расчет аналогичен первому участку для графика а.
$\frac{\Delta\Phi}{\Delta t} = 0,01 \text{ Вб/с}$.
ЭДС индукции: $E_1 = -400 \cdot 0,01 \text{ В} = -4 \text{ В}$.

2. Участок $t \in (0,1; 0,2)$ с (и аналогичные интервалы, например, $(0,3; 0,4)$ с).
Магнитный поток линейно убывает от 1 мВб до 0. Расчет аналогичен третьему участку для графика а.
$\frac{\Delta\Phi}{\Delta t} = -0,01 \text{ Вб/с}$.
ЭДС индукции: $E_2 = -400 \cdot (-0,01 \text{ В}) = 4 \text{ В}$.

а) Найдите максимальное значение ЭДС индукции, если в катушке 400 витков.
ЭДС индукции принимает значения -4 В и 4 В. Максимальное по модулю значение ЭДС индукции составляет $|E_{max}| = 4 \text{ В}$.

б) Начертите график зависимости ЭДС индукции, наводимой в катушке, от времени.
График зависимости $E_{ind}(t)$ представляет собой прямоугольные импульсы (меандр):
- на интервалах $(0; 0,1)$ с, $(0,2; 0,3)$ с, ... $E_{ind} = -4 \text{ В}$;
- на интервалах $(0,1; 0,2)$ с, $(0,3; 0,4)$ с, ... $E_{ind} = 4 \text{ В}$.

Ответ: а) максимальное значение ЭДС индукции равно 4 В; б) график ЭДС — периодическая ступенчатая функция (меандр), колеблющаяся между -4 В и 4 В с периодом 0,2 с.

Для графика в

Дано:
Число витков: $N = 400$.
График зависимости магнитного потока $\Phi(t)$ (рис. 3.45 в).
Значения потока в характерных точках: $\Phi(0) = 4$ мВб, $\Phi(6) = -4$ мВб, $\Phi(9) = 4$ мВб.

$1 \text{ мВб} = 1 \cdot 10^{-3} \text{ Вб}$

Найти:
а) $E_{max}$ — максимальное значение ЭДС индукции.
б) График зависимости $E_{ind}(t)$.

Решение:
Разобьем график $\Phi(t)$ на два участка.

1. Участок $t \in (0; 6)$ с.
Магнитный поток линейно изменяется от $\Phi_1 = 4 \text{ мВб}$ до $\Phi_2 = -4 \text{ мВб}$.
Скорость изменения потока: $\frac{\Delta\Phi}{\Delta t} = \frac{(-4 - 4) \cdot 10^{-3} \text{ Вб}}{6 \text{ с}} = \frac{-8 \cdot 10^{-3}}{6} \text{ Вб/с} = -\frac{4}{3} \cdot 10^{-3} \text{ Вб/с}$.
ЭДС индукции: $E_1 = -N \frac{\Delta\Phi}{\Delta t} = -400 \cdot (-\frac{4}{3} \cdot 10^{-3} \text{ В}) = \frac{1600}{3} \cdot 10^{-3} \text{ В} = \frac{1,6}{3} \text{ В} \approx 0,53 \text{ В}$.

2. Участок $t \in (6; 9)$ с.
Магнитный поток линейно изменяется от $\Phi_2 = -4 \text{ мВб}$ до $\Phi_3 = 4 \text{ мВб}$.
Скорость изменения потока: $\frac{\Delta\Phi}{\Delta t} = \frac{(4 - (-4)) \cdot 10^{-3} \text{ Вб}}{9 \text{ с} - 6 \text{ с}} = \frac{8 \cdot 10^{-3}}{3} \text{ Вб/с}$.
ЭДС индукции: $E_2 = -N \frac{\Delta\Phi}{\Delta t} = -400 \cdot (\frac{8 \cdot 10^{-3}}{3} \text{ В}) = -\frac{3200}{3} \cdot 10^{-3} \text{ В} = -\frac{3,2}{3} \text{ В} \approx -1,07 \text{ В}$.

а) Найдите максимальное значение ЭДС индукции, если в катушке 400 витков.
Сравним модули ЭДС на двух участках: $|E_1| \approx 0,53$ В и $|E_2| \approx 1,07$ В. Максимальное по модулю значение ЭДС индукции составляет $|E_{max}| = \frac{3,2}{3} \text{ В} \approx 1,07 \text{ В}$.

б) Начертите график зависимости ЭДС индукции, наводимой в катушке, от времени.
График зависимости $E_{ind}(t)$ представляет собой ступенчатую функцию:
- при $t \in (0; 6)$ с, $E_{ind} = \frac{1,6}{3} \text{ В} \approx 0,53 \text{ В}$;
- при $t \in (6; 9)$ с, $E_{ind} = -\frac{3,2}{3} \text{ В} \approx -1,07 \text{ В}$.

Ответ: а) максимальное значение ЭДС индукции равно $\frac{3,2}{3} \text{ В}$ (приблизительно 1,07 В); б) график ЭДС — ступенчатая функция, принимающая значение $\approx 0,53$ В на интервале (0; 6) с и $\approx -1,07$ В на интервале (6; 9) с.