Номер 3.95, страница 68 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 3. Электромагнетизм. Электромагнитная индукция - номер 3.95, страница 68.

Условие.

3.95. Рамка площадью $\text{S}$ вращается с частотой $\text{v}$ в однородном вертикальном магнитном поле с индукцией $\text{B}$. Запишите закон изменения во времени магнитного потока через поверхность рамки, если в начальный момент времени рамка находилась в положении, показанном на рисунке 3.43.

Рис. 3.43

Решение.

а) Решение

Магнитный поток $Φ$ через поверхность рамки определяется формулой: $Φ = B S \cos(α)$, где $\text{B}$ — индукция магнитного поля, $\text{S}$ — площадь рамки, а $α$ — угол между вектором магнитной индукции $\vec{B}$ и вектором нормали $\vec{n}$ к поверхности рамки.

Рамка вращается с постоянной частотой $ν$, следовательно, ее угловая скорость постоянна и равна $ω = 2\piν$. Угол поворота рамки изменяется со временем по закону $φ(t) = ωt = 2\piνt$, если считать, что в начальный момент времени угол поворота равен нулю.

В начальный момент времени ($t=0$) рамка расположена горизонтально, как показано на рисунке а. В этом положении вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости рамки параллелен вектору магнитной индукции $\vec{B}$ (оба направлены вертикально). Таким образом, начальный угол между ними $α(0) = 0$.

При вращении рамки угол $α$ между постоянным по направлению вектором $\vec{B}$ и вращающимся вектором нормали $\vec{n}$ будет равен углу поворота рамки $φ$. Следовательно, $α(t) = φ(t) = ωt = 2\piνt$.

Подставив это выражение в формулу для магнитного потока, получим закон его изменения во времени: $Φ(t) = B S \cos(ωt) = B S \cos(2\piνt)$.

Ответ: $Φ(t) = B S \cos(2\piνt)$.

б) Решение

Как и в предыдущем пункте, используем формулу для магнитного потока: $Φ = B S \cos(α)$, где $α$ — угол между вектором магнитной индукции $\vec{B}$ и вектором нормали $\vec{n}$.

В начальный момент времени ($t=0$) рамка расположена вертикально, как показано на рисунке б. Вектор магнитной индукции $\vec{B}$ направлен вертикально, а вектор нормали $\vec{n}$ к поверхности рамки — горизонтально. Таким образом, векторы $\vec{B}$ и $\vec{n}$ взаимно перпендикулярны, и начальный угол между ними $α(0) = \pi/2$ радиан (или 90°).

При вращении рамки с угловой скоростью $ω = 2\piν$ угол $α$ между векторами $\vec{B}$ и $\vec{n}$ изменяется. Если в начальный момент времени $t=0$ фаза колебаний равна нулю, то зависимость угла от времени можно представить в виде $α(t) = ωt + α(0)$, что в данном случае дает $α(t) = ωt + \pi/2$.

Подставим это выражение в формулу для магнитного потока: $Φ(t) = B S \cos(ωt + \pi/2) = B S \cos(2\piνt + \pi/2)$.

Используя формулу приведения $\cos(x + \pi/2) = -\sin(x)$, получаем: $Φ(t) = -B S \sin(2\piνt)$.

Примечание: Знак минус зависит от выбора начального направления нормали. Если бы мы выбрали противоположное направление нормали, ответ был бы с плюсом: $Φ(t) = B S \sin(2\piνt)$. Оба ответа описывают синусоидальное изменение потока с одинаковой амплитудой и частотой, но сдвигом по фазе на $\pi$. В рамках задачи оба варианта корректны.

Ответ: $Φ(t) = -B S \sin(2\piνt)$ (или $Φ(t) = B S \sin(2\piνt)$).