Номер 3.107, страница 70 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 3. Электромагнетизм. Электромагнитная индукция - номер 3.107, страница 70.

Условие.

3.107. В некоторой области пространства создано однородное магнитное поле с индукцией $\text{B}$ (рис. 3.47). Квадратная металлическая рамка площадью $\text{S}$ движется через границу этой области с постоянной скоростью $\vec{v}$, направленной вдоль плоскости рамки и перпендикулярно линиям индукции. ЭДС индукции, возникающая в рамке, равна $\mathscr{E}$. Какой станет ЭДС индукции, если так же будет двигаться квадратная рамка площадью $\text{4S}$, изготовленная из того же материала?

Рис. 3.47

Решение.

Дано:

Площадь первой рамки: $S_1 = S$
ЭДС индукции в первой рамке: $\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}$
Площадь второй рамки: $S_2 = 4S$
Скорость рамок: $v_1 = v_2 = v$
Магнитная индукция: $\text{B}$

Найти:

ЭДС индукции во второй рамке: $\mathcal{E}_2$

Решение:

ЭДС индукции возникает в рамке при изменении магнитного потока, пронизывающего её контур. В данном случае это происходит, когда рамка входит в магнитное поле или выходит из него. Когда рамка движется с постоянной скоростью $\text{v}$, ЭДС индукции возникает в той стороне рамки, которая пересекает силовые линии магнитного поля. Величина этой ЭДС определяется по формуле для ЭДС индукции в движущемся проводнике:

$\mathcal{E} = B \cdot l \cdot v \cdot \sin\alpha$

где $\text{l}$ — длина проводника (в нашем случае — сторона рамки, перпендикулярная скорости), $\text{B}$ — индукция магнитного поля, $\text{v}$ — скорость движения. Угол $\alpha$ — это угол между вектором магнитной индукции $\vec{B}$ и вектором скорости $\vec{v}$. По условию задачи, скорость рамки перпендикулярна линиям индукции, значит $\alpha = 90^\circ$, и $\sin\alpha = 1$. Формула упрощается до:

$\mathcal{E} = B \cdot l \cdot v$

Рассмотрим первый случай. Рамка квадратная, её площадь $S_1 = S$. Длина стороны такой рамки $l_1$ равна:

$l_1 = \sqrt{S_1} = \sqrt{S}$

Тогда ЭДС индукции для первой рамки равна:

$\mathcal{E}_1 = \mathcal{E} = B \cdot \sqrt{S} \cdot v$

Теперь рассмотрим второй случай. Новая квадратная рамка имеет площадь $S_2 = 4S$. Найдем длину её стороны $l_2$:

$l_2 = \sqrt{S_2} = \sqrt{4S} = 2\sqrt{S}$

Эта рамка движется с той же скоростью $\text{v}$ в том же магнитном поле $\text{B}$. ЭДС индукции для второй рамки будет:

$\mathcal{E}_2 = B \cdot l_2 \cdot v = B \cdot (2\sqrt{S}) \cdot v$

Сравним полученное выражение для $\mathcal{E}_2$ с выражением для $\mathcal{E}_1$:

$\mathcal{E}_2 = 2 \cdot (B \cdot \sqrt{S} \cdot v) = 2 \cdot \mathcal{E}_1 = 2\mathcal{E}$

Таким образом, ЭДС индукции во второй рамке будет в два раза больше, чем в первой. Упоминание о том, что рамка изготовлена из того же материала, относится к её электрическому сопротивлению, но на величину ЭДС индукции это не влияет.

Ответ: ЭДС индукции станет равной $2\mathcal{E}$.