Номер 5.156, страница 125 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 5. Электромагнитные колебания. Активное и реактивное сопротивления. Закон Ома для цепи переменного тока - номер 5.156, страница 125.

Условие.

5.156*. Резонанс в колебательном контуре с конденсатором ёмкостью $C_1 = 10^{-6}$ Ф наступает при частоте 400 Гц. Когда параллельно конденсатору $C_1$ подключается другой конденсатор $C_2$, резонансная частота становится равной 100 Гц. Определите ёмкость $C_2$.

Решение.

Дано:

Ёмкость первого конденсатора $C_1 = 10^{-6}$ Ф.

Резонансная частота с конденсатором $C_1$: $\nu_1 = 400$ Гц.

Резонансная частота с конденсаторами $C_1$ и $C_2$, соединенными параллельно: $\nu_2 = 100$ Гц.

Найти:

Ёмкость второго конденсатора $C_2$.

Решение:

Резонансная частота колебательного контура определяется формулой Томсона:

$\nu = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$

где $\text{L}$ — индуктивность катушки, а $\text{C}$ — ёмкость конденсатора.

Для первого случая, когда в контуре находится только конденсатор $C_1$, резонансная частота равна:

$\nu_1 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC_1}}$ (1)

Во втором случае, когда к конденсатору $C_1$ параллельно подключают конденсатор $C_2$, общая ёмкость системы конденсаторов $C_{общ}$ становится равной сумме их ёмкостей:

$C_{общ} = C_1 + C_2$

Резонансная частота для этого случая:

$\nu_2 = \frac{1}{2\pi\sqrt{L(C_1+C_2)}}$ (2)

Индуктивность $\text{L}$ в обоих случаях одинакова. Чтобы найти $C_2$, разделим почленно уравнение (1) на уравнение (2):

$\frac{\nu_1}{\nu_2} = \frac{\frac{1}{2\pi\sqrt{LC_1}}}{\frac{1}{2\pi\sqrt{L(C_1+C_2)}}} = \frac{\sqrt{L(C_1+C_2)}}{\sqrt{LC_1}} = \sqrt{\frac{C_1+C_2}{C_1}}$

Возведём обе части полученного равенства в квадрат:

$\left(\frac{\nu_1}{\nu_2}\right)^2 = \frac{C_1+C_2}{C_1}$

Выразим из этого уравнения искомую ёмкость $C_2$:

$\frac{C_1+C_2}{C_1} = 1 + \frac{C_2}{C_1}$

$\frac{C_2}{C_1} = \left(\frac{\nu_1}{\nu_2}\right)^2 - 1$

$C_2 = C_1 \left( \left(\frac{\nu_1}{\nu_2}\right)^2 - 1 \right)$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$C_2 = 10^{-6} \cdot \left( \left(\frac{400}{100}\right)^2 - 1 \right) = 10^{-6} \cdot (4^2 - 1) = 10^{-6} \cdot (16 - 1) = 15 \cdot 10^{-6}$ Ф.

Ответ: ёмкость второго конденсатора $C_2 = 15 \cdot 10^{-6}$ Ф (или 15 мкФ).