Номер 5.150, страница 125 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 5. Электромагнитные колебания. Активное и реактивное сопротивления. Закон Ома для цепи переменного тока - номер 5.150, страница 125.

Условие.

5.150. Конденсатор и катушка соединены последовательно. Индуктивность катушки 0,01 Гн. При какой ёмкости конденсатора резонансная частота для силы тока будет равна 1 кГц?

Решение.

Дано:

Индуктивность катушки, $L = 0,01$ Гн

Резонансная частота, $f = 1$ кГц

Перевод в систему СИ:

$f = 1 \text{ кГц} = 1 \cdot 10^3 \text{ Гц} = 1000 \text{ Гц}$

Найти:

Ёмкость конденсатора, $\text{C}$

Решение:

В последовательном колебательном контуре, состоящем из катушки индуктивности и конденсатора, возникает явление резонанса, когда реактивное сопротивление катушки становится равным реактивному сопротивлению конденсатора. Резонансная циклическая частота $\omega$ определяется формулой Томсона:

$\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$

где $\text{L}$ – индуктивность катушки, а $\text{C}$ – ёмкость конденсатора.

Циклическая частота $\omega$ связана с линейной частотой $\text{f}$ следующим соотношением:

$\omega = 2\pi f$

Приравняем правые части выражений для циклической частоты, чтобы связать линейную частоту с параметрами контура:

$2\pi f = \frac{1}{\sqrt{LC}}$

Наша задача — найти ёмкость конденсатора $\text{C}$. Для этого выразим $\text{C}$ из полученной формулы. Сначала возведём обе части уравнения в квадрат:

$(2\pi f)^2 = \left(\frac{1}{\sqrt{LC}}\right)^2$

$4\pi^2 f^2 = \frac{1}{LC}$

Теперь из этого выражения найдём $\text{C}$:

$C = \frac{1}{4\pi^2 f^2 L}$

Подставим в формулу числовые значения, приведённые в условии задачи:

$C = \frac{1}{4\pi^2 (1000 \text{ Гц})^2 \cdot 0,01 \text{ Гн}} = \frac{1}{4\pi^2 \cdot 10^6 \text{ Гц}^2 \cdot 0,01 \text{ Гн}}$

Выполним вычисления:

$C = \frac{1}{4\pi^2 \cdot 10^4} \approx \frac{1}{4 \cdot (3,1416)^2 \cdot 10^4} \approx \frac{1}{4 \cdot 9,8696 \cdot 10^4} \approx \frac{1}{39,4784 \cdot 10^4} \approx 0,02533 \cdot 10^{-4} \text{ Ф}$

Для удобства представим результат в микрофарадах (1 мкФ = $10^{-6}$ Ф):

$C \approx 2,533 \cdot 10^{-6} \text{ Ф} \approx 2,53 \text{ мкФ}$

Ответ: для достижения резонансной частоты 1 кГц ёмкость конденсатора должна быть примерно равна 2,53 мкФ.