Номер 5.145, страница 124 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 5. Электромагнитные колебания. Активное и реактивное сопротивления. Закон Ома для цепи переменного тока - номер 5.145, страница 124.

Условие.

5.145*. Параллельно с проводником сопротивлением $20 \text{ Ом}$ включены катушка индуктивностью $2,5 \text{ мГн}$ и конденсатор ёмкостью $0,4 \text{ мкФ}$ (рис. 5.29). Определите:

а) индуктивное сопротивление;

б) ёмкостное сопротивление;

в) полное сопротивление цепи при частоте $314 \text{ Гц}$.

Рис. 5.29

Решение.

Дано:

$R = 20 \text{ Ом}$

$L = 2,5 \text{ мГн}$

$C = 0,4 \text{ мкФ}$

$f = 314 \text{ Гц}$

Перевод всех данных в систему СИ:

$L = 2,5 \cdot 10^{-3} \text{ Гн}$

$C = 0,4 \cdot 10^{-6} \text{ Ф} = 4 \cdot 10^{-7} \text{ Ф}$

Найти:

а) $X_L$ - индуктивное сопротивление

б) $X_C$ - ёмкостное сопротивление

в) $\text{Z}$ - полное сопротивление цепи

Решение:

а) Индуктивное сопротивление $X_L$ рассчитывается по формуле:

$X_L = \omega L = 2 \pi f L$

где $\omega$ – циклическая частота, $\text{f}$ – линейная частота, $\text{L}$ – индуктивность.

Сначала найдем циклическую частоту $\omega$:

$\omega = 2 \pi f = 2 \cdot 3,1416 \cdot 314 \text{ Гц} \approx 1973,9 \text{ рад/с}$

Теперь рассчитаем индуктивное сопротивление:

$X_L = 1973,9 \text{ рад/с} \cdot 2,5 \cdot 10^{-3} \text{ Гн} \approx 4,93 \text{ Ом}$

Ответ: индуктивное сопротивление $X_L \approx 4,93 \text{ Ом}$.

б) Ёмкостное сопротивление $X_C$ рассчитывается по формуле:

$X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2 \pi f C}$

Подставим известные значения:

$X_C = \frac{1}{1973,9 \text{ рад/с} \cdot 0,4 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}} = \frac{1}{7,8956 \cdot 10^{-4}} \text{ Ом} \approx 1267 \text{ Ом}$

Ответ: ёмкостное сопротивление $X_C \approx 1267 \text{ Ом}$.

в) Поскольку элементы цепи (резистор, катушка и конденсатор) соединены параллельно, удобнее работать с проводимостями. Полное сопротивление цепи $\text{Z}$ (импеданс) является величиной, обратной полной проводимости $\text{Y}$ (адмитансу).

Полная проводимость цепи находится по формуле:

$Y = \frac{1}{Z} = \sqrt{G^2 + (B_C - B_L)^2}$

где $G = \frac{1}{R}$ – активная проводимость, $B_C = \frac{1}{X_C}$ – ёмкостная проводимость, а $B_L = \frac{1}{X_L}$ – индуктивная проводимость.

Рассчитаем значения проводимостей:

$G = \frac{1}{20 \text{ Ом}} = 0,05 \text{ См}$

$B_C = \frac{1}{1267 \text{ Ом}} \approx 0,00079 \text{ См}$

$B_L = \frac{1}{4,93 \text{ Ом}} \approx 0,2028 \text{ См}$

Теперь подставим эти значения в формулу для полной проводимости:

$Y = \sqrt{(0,05)^2 + (0,00079 - 0,2028)^2} = \sqrt{0,0025 + (-0,20201)^2} = \sqrt{0,0025 + 0,0408} = \sqrt{0,0433} \approx 0,208 \text{ См}$

Полное сопротивление цепи $\text{Z}$ равно:

$Z = \frac{1}{Y} = \frac{1}{0,208 \text{ См}} \approx 4,81 \text{ Ом}$

Ответ: полное сопротивление цепи $Z \approx 4,81 \text{ Ом}$.