Номер 5.140, страница 123 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 5. Электромагнитные колебания. Активное и реактивное сопротивления. Закон Ома для цепи переменного тока - номер 5.140, страница 123.

Условие.

5.140. Катушка с активным сопротивлением 15 Ом и индуктивностью 52 мГн включена в сеть переменного тока стандартной частоты последовательно с конденсатором ёмкостью 120 мкФ. Действующее значение напряжения в сети 220 В. Определите:

а) максимальную силу тока в цепи;

б) активную мощность;

в) коэффициент мощности $\cos \varphi$.

Решение.

Дано:

Активное сопротивление $R = 15 \text{ Ом}$

Индуктивность $L = 52 \text{ мГн}$

Ёмкость $C = 120 \text{ мкФ}$

Действующее напряжение $U = 220 \text{ В}$

Стандартная частота переменного тока $f = 50 \text{ Гц}$

Перевод в систему СИ:

$L = 52 \cdot 10^{-3} \text{ Гн} = 0,052 \text{ Гн}$

$C = 120 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}$

Найти:

а) $I_{max}$ - максимальную силу тока

б) $P_a$ - активную мощность

в) $\cos \varphi$ - коэффициент мощности

Решение:

Катушка, конденсатор и активное сопротивление соединены последовательно, образуя RLC-контур. Для нахождения искомых величин сначала определим полное сопротивление цепи (импеданс).

1. Найдём циклическую частоту переменного тока:

$\omega = 2 \pi f = 2 \pi \cdot 50 \text{ Гц} = 100 \pi \text{ рад/с} \approx 314,16 \text{ рад/с}$

2. Рассчитаем индуктивное сопротивление катушки:

$X_L = \omega L = 100 \pi \text{ рад/с} \cdot 0,052 \text{ Гн} \approx 16,34 \text{ Ом}$

3. Рассчитаем ёмкостное сопротивление конденсатора:

$X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{100 \pi \text{ рад/с} \cdot 120 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}} \approx 26,53 \text{ Ом}$

4. Найдём полное сопротивление цепи (импеданс):

$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = \sqrt{15^2 + (16,34 - 26,53)^2} = \sqrt{225 + (-10,19)^2} \approx \sqrt{225 + 103,84} = \sqrt{328,84} \approx 18,13 \text{ Ом}$

5. Определим действующее значение силы тока в цепи по закону Ома для цепи переменного тока:

$I = \frac{U}{Z} = \frac{220 \text{ В}}{18,13 \text{ Ом}} \approx 12,13 \text{ А}$

а) максимальную силу тока в цепи
Максимальная (амплитудная) сила тока $I_{max}$ связана с действующим значением силы тока $\text{I}$ соотношением: $I_{max} = I \sqrt{2}$.
$I_{max} = 12,13 \text{ А} \cdot \sqrt{2} \approx 17,2 \text{ А}$.
Ответ: максимальная сила тока в цепи составляет примерно $17,2 \text{ А}$.

б) активную мощность
Активная мощность - это мощность, которая выделяется на активном сопротивлении. Она вычисляется по формуле: $P_a = I^2 R$.
$P_a = (12,13 \text{ А})^2 \cdot 15 \text{ Ом} \approx 147,14 \cdot 15 \text{ Вт} \approx 2207 \text{ Вт} \approx 2,21 \text{ кВт}$.
Ответ: активная мощность в цепи составляет примерно $2,21 \text{ кВт}$.

в) коэффициент мощности cos φ
Коэффициент мощности $\cos \varphi$ для последовательной RLC-цепи равен отношению активного сопротивления к полному сопротивлению (импедансу) цепи.
$\cos \varphi = \frac{R}{Z} = \frac{15 \text{ Ом}}{18,13 \text{ Ом}} \approx 0,827$.
Ответ: коэффициент мощности в цепи составляет примерно $0,83$.