Номер 5.133, страница 121 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 5. Электромагнитные колебания. Активное и реактивное сопротивления. Закон Ома для цепи переменного тока - номер 5.133, страница 121.

Условие.

5.133. Векторная диаграмма для неразветвлённой цепи переменного тока приведена на рисунке 5.23. Начертите схему цепи. Найдите коэффициент мощности и сдвиг фаз между силой тока и напряжением.

Рис. 5.23

Решение.

а)

Дано:
Из векторной диаграммы (рис. а), приняв длину одной клетки сетки за 1 условную единицу (усл. ед.):
Амплитуда напряжения $U_{2m} = 3$ усл. ед.
Амплитуда напряжения $U_{1m} = 2$ усл. ед.
Сдвиг фаз между током $\vec{i}$ и напряжением $\vec{u_2}$ равен 0.
Сдвиг фаз между током $\vec{i}$ и напряжением $\vec{u_1}$ равен $-\pi/2$.

Найти:
Схему цепи, коэффициент мощности $\cos\varphi$, сдвиг фаз $\varphi$.

Решение:
На векторной диаграмме `а` вектор напряжения $\vec{u_2}$ совпадает по направлению (по фазе) с вектором тока $\vec{i}$. Это означает, что элемент, на котором падает напряжение $\vec{u_2}$, является резистором с активным сопротивлением R.
Вектор напряжения $\vec{u_1}$ отстает по фазе от вектора тока $\vec{i}$ на угол $\pi/2$. Следовательно, этот элемент является конденсатором с ёмкостным сопротивлением $X_C$.
Схема цепи представляет собой последовательное соединение резистора и конденсатора.
Полное напряжение в цепи $\vec{u}$ является векторной суммой напряжений $\vec{u_1}$ и $\vec{u_2}$: $\vec{u} = \vec{u_1} + \vec{u_2}$.
Из диаграммы имеем амплитудные значения напряжений: на резисторе $U_{Rm} = U_{2m} = 3$ усл. ед., на конденсаторе $U_{Cm} = U_{1m} = 2$ усл. ед.
Амплитуда полного напряжения $U_m$ находится по теореме Пифагора:
$U_m = \sqrt{U_{Rm}^2 + U_{Cm}^2} = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9+4} = \sqrt{13}$ усл. ед.
Сдвиг фаз $\varphi$ между напряжением и током определяется из соотношения:
$\tan \varphi = \frac{-U_{Cm}}{U_{Rm}} = \frac{-2}{3} \approx -0.667$
Отсюда $\varphi = \arctan(-2/3) \approx -0.588$ рад $\approx -33.7^\circ$. Знак минус означает, что напряжение отстает от тока.
Коэффициент мощности:
$\cos \varphi = \frac{U_{Rm}}{U_m} = \frac{3}{\sqrt{13}} \approx 0.832$
Ответ: Схема цепи — последовательно соединенные резистор и конденсатор. Коэффициент мощности $\cos \varphi \approx 0.832$, сдвиг фаз $\varphi \approx -0.588$ рад (напряжение отстает от тока).

б)

Дано:
Из векторной диаграммы (рис. б), приняв длину одной клетки сетки за 1 условную единицу (усл. ед.):
Амплитуда напряжения $U_{1m} = 2$ усл. ед.
Амплитуда напряжения $U_{2m} = 2$ усл. ед.
Сдвиг фаз между током $\vec{i}$ и напряжением $\vec{u_1}$ равен 0.
Сдвиг фаз между током $\vec{i}$ и напряжением $\vec{u_2}$ равен $+\pi/2$.

Найти:
Схему цепи, коэффициент мощности $\cos\varphi$, сдвиг фаз $\varphi$.

Решение:
На векторной диаграмме `б` вектор напряжения $\vec{u_1}$ совпадает по фазе с вектором тока $\vec{i}$. Это означает, что элемент, на котором падает напряжение $\vec{u_1}$, является резистором (R).
Вектор напряжения $\vec{u_2}$ опережает по фазе вектор тока $\vec{i}$ на угол $\pi/2$. Следовательно, этот элемент является катушкой индуктивности (L).
Схема цепи представляет собой последовательное соединение резистора и катушки индуктивности.
Амплитудные значения напряжений: на резисторе $U_{Rm} = U_{1m} = 2$ усл. ед., на катушке $U_{Lm} = U_{2m} = 2$ усл. ед.
Амплитуда полного напряжения $U_m$:
$U_m = \sqrt{U_{Rm}^2 + U_{Lm}^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ усл. ед.
Сдвиг фаз $\varphi$ между напряжением и током:
$\tan \varphi = \frac{U_{Lm}}{U_{Rm}} = \frac{2}{2} = 1$
Отсюда $\varphi = \arctan(1) = \frac{\pi}{4}$ рад $= 45^\circ$. Положительный знак означает, что напряжение опережает ток.
Коэффициент мощности:
$\cos \varphi = \frac{U_{Rm}}{U_m} = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707$
Ответ: Схема цепи — последовательно соединенные резистор и катушка индуктивности. Коэффициент мощности $\cos \varphi \approx 0.707$, сдвиг фаз $\varphi = \pi/4$ рад (напряжение опережает ток).

в)

Дано:
Из векторной диаграммы (рис. в), приняв длину одной клетки сетки за 1 условную единицу (усл. ед.):
Амплитуда напряжения $U_{1m} = 4$ усл. ед.
Амплитуда напряжения $U_{2m} = 2$ усл. ед.
Сдвиг фаз между током $\vec{i}$ и напряжением $\vec{u_1}$ равен $+\pi/2$.
Сдвиг фаз между током $\vec{i}$ и напряжением $\vec{u_2}$ равен $-\pi/2$.

Найти:
Схему цепи, коэффициент мощности $\cos\varphi$, сдвиг фаз $\varphi$.

Решение:
На векторной диаграмме `в` вектор напряжения $\vec{u_1}$ опережает по фазе вектор тока $\vec{i}$ на угол $\pi/2$. Следовательно, этот элемент является катушкой индуктивности (L).
Вектор напряжения $\vec{u_2}$ отстает по фазе от вектора тока $\vec{i}$ на угол $\pi/2$. Следовательно, этот элемент является конденсатором (C).
Схема цепи представляет собой последовательное соединение катушки индуктивности и конденсатора (колебательный контур). В данной цепи отсутствует активное сопротивление ($R=0$).
Амплитудные значения напряжений: на катушке $U_{Lm} = U_{1m} = 4$ усл. ед., на конденсаторе $U_{Cm} = U_{2m} = 2$ усл. ед.
Полное напряжение $\vec{u}$ равно векторной сумме $\vec{u_1} + \vec{u_2}$. Так как векторы $\vec{u_1}$ и $\vec{u_2}$ направлены в противоположные стороны, амплитуда полного напряжения $U_m$ равна модулю их разности:
$U_m = |U_{Lm} - U_{Cm}| = |4 - 2| = 2$ усл. ед.
Так как $U_{Lm} > U_{Cm}$, цепь имеет индуктивный характер, и вектор полного напряжения $\vec{u}$ сонаправлен с вектором $\vec{u_1}$, то есть опережает ток $\vec{i}$ на $\pi/2$.
Сдвиг фаз $\varphi = \pi/2$ рад $= 90^\circ$.
Коэффициент мощности:
$\cos \varphi = \cos(\pi/2) = 0$.
Ответ: Схема цепи — последовательно соединенные катушка индуктивности и конденсатор. Коэффициент мощности $\cos \varphi = 0$, сдвиг фаз $\varphi = \pi/2$ рад (напряжение опережает ток).