Номер 5.131, страница 121 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 5. Электромагнитные колебания. Активное и реактивное сопротивления. Закон Ома для цепи переменного тока - номер 5.131, страница 121.

Условие.

5.131* Катушка с активным сопротивлением $10 \text{ Ом}$ включена в цепь переменного тока с действующим значением напряжения $127 \text{ В}$ и частотой $50 \text{ Гц}$. Найдите индуктивность катушки, если известно, что в катушке рассеивается средняя мощность $400 \text{ Вт}$, а сдвиг фаз между напряжением и силой тока $60^\circ$.

Решение.

Дано:

Активное сопротивление катушки $R = 10$ Ом

Действующее значение напряжения $U = 127$ В

Частота переменного тока $f = 50$ Гц

Средняя мощность, рассеиваемая в катушке $P = 400$ Вт

Сдвиг фаз между напряжением и силой тока $\phi = 60^\circ$

Найти:

Индуктивность катушки $\text{L}$

Решение:

Катушка в цепи переменного тока характеризуется активным сопротивлением $\text{R}$ и индуктивным (реактивным) сопротивлением $X_L$.

Тангенс угла сдвига фаз $\phi$ между напряжением и силой тока в RL-цепи определяется отношением индуктивного сопротивления к активному:

$\tan(\phi) = \frac{X_L}{R}$

Из этой формулы мы можем выразить индуктивное сопротивление $X_L$:

$X_L = R \cdot \tan(\phi)$

Индуктивное сопротивление также связано с индуктивностью катушки $\text{L}$ и циклической частотой тока $\omega$ по формуле:

$X_L = \omega L$

Циклическая частота $\omega$ выражается через обычную частоту $\text{f}$ как $\omega = 2\pi f$. Следовательно:

$X_L = 2\pi f L$

Приравнивая два полученных выражения для $X_L$, получаем уравнение для нахождения индуктивности $\text{L}$:

$2\pi f L = R \cdot \tan(\phi)$

Выразим искомую индуктивность $\text{L}$:

$L = \frac{R \cdot \tan(\phi)}{2\pi f}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$L = \frac{10 \text{ Ом} \cdot \tan(60^\circ)}{2\pi \cdot 50 \text{ Гц}} = \frac{10 \cdot \sqrt{3}}{100\pi} = \frac{\sqrt{3}}{10\pi}$ Гн

Вычислим приближенное значение индуктивности:

$L \approx \frac{1.732}{10 \cdot 3.1416} \approx \frac{1.732}{31.416} \approx 0.055$ Гн

Это значение можно также выразить в миллигенри: $0.055 \text{ Гн} = 55 \text{ мГн}$. Для нахождения индуктивности оказалось достаточно знать активное сопротивление, частоту и сдвиг фаз. Данные о напряжении и мощности являются дополнительными.

Ответ: $L = \frac{\sqrt{3}}{10\pi} \text{ Гн} \approx 55 \text{ мГн}$.