Номер 5.125, страница 120 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 5. Электромагнитные колебания. Активное и реактивное сопротивления. Закон Ома для цепи переменного тока - номер 5.125, страница 120.

Условие.

5.125. Катушка индуктивностью 0,02 Гн с ничтожно малым активным сопротивлением присоединена к источнику переменного тока с частотой 50 Гц. Действующее значение напряжения 100 В. Напишите уравнение зависимости $i(t)$. Определите сдвиг фаз между силой тока и напряжением. Постройте векторную диаграмму.

Решение.

Дано:
Индуктивность катушки, $L = 0,02$ Гн
Активное сопротивление, $R \approx 0$ Ом
Частота переменного тока, $f = 50$ Гц
Действующее значение напряжения, $U_{\text{действ}} = 100$ В

Найти:
1. Уравнение зависимости $i(t)$
2. Сдвиг фаз $\varphi$ между током и напряжением
3. Векторную диаграмму

Решение:

Напишите уравнение зависимости i(t)
Уравнение зависимости силы тока от времени в общем виде записывается как $i(t) = I_m \sin(\omega t + \phi_0)$, где $I_m$ - амплитудное значение силы тока, $\omega$ - циклическая частота, а $\phi_0$ - начальная фаза тока. Чтобы найти это уравнение, нужно определить $I_m$, $\omega$ и $\phi_0$.

1. Вычислим циклическую (угловую) частоту $\omega$ переменного тока:
$\omega = 2\pi f = 2\pi \cdot 50 = 100\pi$ рад/с.

2. Определим индуктивное сопротивление катушки $X_L$. Так как активное сопротивление ничтожно мало ($R \approx 0$), полное сопротивление цепи $\text{Z}$ равно индуктивному сопротивлению:
$X_L = \omega L = 100\pi \cdot 0,02 = 2\pi$ Ом.

3. Найдем амплитудное значение напряжения $U_m$, зная его действующее (среднеквадратичное) значение $U_{\text{действ}}$:
$U_m = U_{\text{действ}} \sqrt{2} = 100\sqrt{2}$ В.

4. Используя закон Ома для цепи переменного тока, найдем амплитудное значение силы тока $I_m$:
$I_m = \frac{U_m}{X_L} = \frac{100\sqrt{2}}{2\pi} = \frac{50\sqrt{2}}{\pi}$ А.
Вычислим приближенное значение: $I_m \approx \frac{50 \cdot 1,414}{3,142} \approx 22,5$ А.

5. В цепи с идеальной индуктивностью (без активного сопротивления) ток отстает по фазе от напряжения на $\frac{\pi}{2}$ радиан ($90^\circ$). Примем начальную фазу напряжения равной нулю, тогда уравнение для напряжения будет $u(t) = U_m \sin(\omega t)$. В этом случае начальная фаза тока будет $\phi_0 = -\frac{\pi}{2}$.

6. Теперь можно записать итоговое уравнение зависимости $i(t)$, подставив все найденные величины:
$i(t) = \frac{50\sqrt{2}}{\pi} \sin(100\pi t - \frac{\pi}{2})$ А.

Ответ: Уравнение зависимости силы тока от времени имеет вид $i(t) = \frac{50\sqrt{2}}{\pi} \sin(100\pi t - \frac{\pi}{2})$ А, или в приближенном виде $i(t) \approx 22,5 \sin(100\pi t - \frac{\pi}{2})$ А.

Определите сдвиг фаз между силой тока и напряжением
В электрической цепи, содержащей только идеальную катушку индуктивности, напряжение на катушке опережает по фазе ток, протекающий через нее. Сдвиг фаз $\varphi$ между напряжением и током составляет $\frac{\pi}{2}$ радиан, или $90^\circ$.
Это можно показать формально. Если фаза напряжения $\phi_u = \omega t$, а фаза тока $\phi_i = \omega t - \frac{\pi}{2}$, то сдвиг фаз $\varphi$ равен разности их фаз:
$\varphi = \phi_u - \phi_i = \omega t - (\omega t - \frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2}$ рад.

Ответ: Сдвиг фаз между силой тока и напряжением составляет $\frac{\pi}{2}$ рад ($90^\circ$). Напряжение опережает ток.

Постройте векторную диаграмму
Векторная диаграмма — это графическое представление синусоидальных величин (в данном случае тока и напряжения) в виде векторов на комплексной плоскости. Длина каждого вектора пропорциональна амплитуде соответствующей величины, а угол вектора относительно положительного направления действительной оси равен начальной фазе. Вся диаграмма вращается как единое целое против часовой стрелки с угловой скоростью $\omega$.
Для нашего случая, если принять начальную фазу напряжения равной нулю, то вектор напряжения $U_m$ будет направлен вдоль действительной оси. Так как ток отстает от напряжения на $90^\circ$, его вектор $I_m$ будет направлен вдоль отрицательной мнимой оси.

На диаграмме показано, что вектор амплитуды напряжения $U_m$ опережает вектор амплитуды тока $I_m$ на угол $\varphi = 90^\circ$ (при вращении против часовой стрелки).

Ответ: Векторная диаграмма, показывающая, что вектор напряжения опережает вектор тока на $90^\circ$, построена на рисунке выше.