Номер 5.123, страница 120 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 5. Электромагнитные колебания. Активное и реактивное сопротивления. Закон Ома для цепи переменного тока - номер 5.123, страница 120.

Условие.

5.123. Сила тока на участке цепи с катушкой индуктивностью 2 мкГн изменяется по закону $i = 0.2 \sin 100t$ (А). Найдите:

а) индуктивное сопротивление катушки;

б) уравнение зависимости напряжения от времени;

в) сдвиг фаз между силой тока и напряжением. Активным сопротивлением катушки пренебречь.

Решение.

Дано:

$L = 2$ мкГн

$i(t) = 0,2 \sin(100t)$ (А)

Активное сопротивление $R=0$

Перевод в СИ:

$L = 2 \cdot 10^{-6}$ Гн

Найти:

а) $X_L$ - ?

б) $u(t)$ - ?

в) $\Delta\phi$ - ?

Решение:

Уравнение зависимости силы тока от времени в общем виде: $i(t) = I_m \sin(\omega t + \phi_0)$, где $I_m$ - амплитуда силы тока, $\omega$ - циклическая частота, $\phi_0$ - начальная фаза.

Из заданного уравнения $i = 0,2 \sin(100t)$ находим:

Амплитуда силы тока $I_m = 0,2$ А.

Циклическая частота $\omega = 100$ рад/с.

Начальная фаза тока $\phi_i = 0$.

а) индуктивное сопротивление катушки

Индуктивное сопротивление $X_L$ рассчитывается по формуле:

$X_L = \omega L$

Подставляем известные значения:

$X_L = 100 \text{ рад/с} \cdot 2 \cdot 10^{-6} \text{ Гн} = 200 \cdot 10^{-6} \text{ Ом} = 2 \cdot 10^{-4}$ Ом.

Ответ: $X_L = 2 \cdot 10^{-4}$ Ом.

б) уравнение зависимости напряжения от времени

Напряжение на катушке индуктивности определяется ЭДС самоиндукции и находится по формуле:

$u(t) = L \frac{di}{dt}$

Найдем производную силы тока по времени:

$\frac{di}{dt} = \frac{d}{dt}(0,2 \sin(100t)) = 0,2 \cdot \cos(100t) \cdot 100 = 20 \cos(100t)$

Подставим производную в формулу для напряжения:

$u(t) = 2 \cdot 10^{-6} \text{ Гн} \cdot 20 \cos(100t) \text{ А/с} = 40 \cdot 10^{-6} \cos(100t) \text{ В} = 4 \cdot 10^{-5} \cos(100t)$ В.

Для сравнения с фазой тока, выразим косинус через синус, используя тригонометрическую формулу $\cos(\alpha) = \sin(\alpha + \frac{\pi}{2})$:

$u(t) = 4 \cdot 10^{-5} \sin(100t + \frac{\pi}{2})$ (В).

Амплитуду напряжения также можно найти по закону Ома для участка цепи: $U_m = I_m \cdot X_L = 0,2 \text{ А} \cdot 2 \cdot 10^{-4} \text{ Ом} = 4 \cdot 10^{-5}$ В.

Ответ: $u(t) = 4 \cdot 10^{-5} \sin(100t + \frac{\pi}{2})$ (В).

в) сдвиг фаз между силой тока и напряжением

Сдвиг фаз $\Delta\phi$ - это разность фаз колебаний напряжения и силы тока.

Фаза колебаний тока: $\phi_{i}(t) = 100t$.

Фаза колебаний напряжения: $\phi_{u}(t) = 100t + \frac{\pi}{2}$.

Сдвиг фаз:

$\Delta\phi = \phi_{u}(t) - \phi_{i}(t) = (100t + \frac{\pi}{2}) - 100t = \frac{\pi}{2}$ рад.

Положительный сдвиг фаз означает, что колебания напряжения опережают по фазе колебания силы тока на $\frac{\pi}{2}$ радиан (или $90^\circ$).

Ответ: $\Delta\phi = \frac{\pi}{2}$ рад.