Номер 5.128, страница 121 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 5. Электромагнитные колебания. Активное и реактивное сопротивления. Закон Ома для цепи переменного тока - номер 5.128, страница 121.

Условие.

5.128. Полное сопротивление катушки индуктивности с активным сопротивлением 4 Ом при частоте тока 50 Гц равно 5 Ом. Найдите:

а) полное сопротивление катушки при частоте тока 150 Гц;

б) индуктивность катушки.

Решение.

Дано:

Активное сопротивление катушки, $R = 4$ Ом

Начальная частота тока, $f_1 = 50$ Гц

Полное сопротивление при начальной частоте, $Z_1 = 5$ Ом

Конечная частота тока, $f_2 = 150$ Гц

Все данные уже в системе СИ.

Найти:

а) Полное сопротивление катушки при частоте $f_2$, $Z_2$

б) Индуктивность катушки, $\text{L}$

Решение:

Полное сопротивление (импеданс) катушки индуктивности, обладающей активным сопротивлением, вычисляется по формуле:

$Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$

где $\text{R}$ – активное сопротивление, а $X_L$ – индуктивное (реактивное) сопротивление.

Индуктивное сопротивление, в свою очередь, зависит от частоты тока $\text{f}$ и индуктивности катушки $\text{L}$:

$X_L = \omega L = 2\pi f L$

Для нахождения полного сопротивления при новой частоте необходимо сначала определить индуктивность катушки, которая является ее постоянной характеристикой. Поэтому начнем с решения пункта б).

б) индуктивность катушки.

Сначала найдем индуктивное сопротивление $X_{L1}$ при частоте $f_1 = 50$ Гц. Из формулы полного сопротивления выразим $X_{L1}$:

$Z_1^2 = R^2 + X_{L1}^2$

$X_{L1} = \sqrt{Z_1^2 - R^2}$

Подставим известные значения:

$X_{L1} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3$ Ом

Теперь, зная индуктивное сопротивление $X_{L1}$ при частоте $f_1$, мы можем найти индуктивность катушки $\text{L}$ из формулы $X_{L1} = 2\pi f_1 L$:

$L = \frac{X_{L1}}{2\pi f_1}$

Подставим значения:

$L = \frac{3}{2\pi \cdot 50} = \frac{3}{100\pi} \approx 0.00955$ Гн

Переведем в миллигенри (мГн) для удобства:

$L \approx 0.00955 \cdot 1000 = 9.55$ мГн

Ответ: Индуктивность катушки составляет примерно 9.55 мГн.

а) полное сопротивление катушки при частоте тока 150 Гц.

Теперь, зная индуктивность катушки $\text{L}$, мы можем найти ее полное сопротивление $Z_2$ при новой частоте $f_2 = 150$ Гц. Активное сопротивление $\text{R}$ не изменяется.

Сначала вычислим новое индуктивное сопротивление $X_{L2}$ при частоте $f_2$:

$X_{L2} = 2\pi f_2 L = 2\pi \cdot 150 \cdot \frac{3}{100\pi} = \frac{900\pi}{100\pi} = 9$ Ом

Теперь можем найти полное сопротивление $Z_2$ по формуле:

$Z_2 = \sqrt{R^2 + X_{L2}^2}$

Подставим значения $R = 4$ Ом и $X_{L2} = 9$ Ом:

$Z_2 = \sqrt{4^2 + 9^2} = \sqrt{16 + 81} = \sqrt{97} \approx 9.85$ Ом

Ответ: Полное сопротивление катушки при частоте 150 Гц равно примерно 9.85 Ом.