Номер 5.130, страница 121 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 5. Электромагнитные колебания. Активное и реактивное сопротивления. Закон Ома для цепи переменного тока - номер 5.130, страница 121.

Условие.

5.130. К источнику переменного тока стандартной частоты с действующим значением напряжения 120 В подключены последовательно резистор сопротивлением 150 Ом и конденсатор ёмкостью 50 мкФ. Определите амплитудное значение силы тока в цепи. Постройте векторную диаграмму и определите сдвиг фаз между силой тока и напряжением.

Решение.

Дано:

Частота переменного тока (стандартная), $f = 50$ Гц

Действующее значение напряжения, $U = 120$ В

Сопротивление резистора, $R = 150$ Ом

Ёмкость конденсатора, $C = 50$ мкФ

Перевод в СИ:
Ёмкость, $C = 50 \times 10^{-6}$ Ф

Найти:

Амплитудное значение силы тока, $I_m$ - ?

Сдвиг фаз между током и напряжением, $\phi$ - ?

Векторная диаграмма.

Решение:

Определите амплитудное значение силы тока в цепи.

Для определения амплитудного значения силы тока воспользуемся законом Ома для цепи переменного тока: $I_m = \frac{U_m}{Z}$, где $U_m$ — амплитудное значение напряжения, а $\text{Z}$ — полное сопротивление цепи (импеданс).

1. Найдём циклическую частоту тока:

$\omega = 2\pi f = 2\pi \times 50 \text{ Гц} = 100\pi$ рад/с.

2. Рассчитаем ёмкостное сопротивление конденсатора $X_C$:

$X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{100\pi \times 50 \times 10^{-6} \text{ Ф}} = \frac{10000}{5\pi} \text{ Ом} \approx 63.7$ Ом.

3. Найдём полное сопротивление цепи (импеданс) $\text{Z}$. Так как резистор и конденсатор соединены последовательно, импеданс равен:

$Z = \sqrt{R^2 + X_C^2} = \sqrt{(150 \text{ Ом})^2 + (63.7 \text{ Ом})^2} = \sqrt{22500 + 4058} = \sqrt{26558} \approx 163$ Ом.

4. Амплитудное значение напряжения $U_m$ связано с действующим значением $\text{U}$ соотношением:

$U_m = U \sqrt{2} = 120 \text{ В} \times \sqrt{2} \approx 169.7$ В.

5. Теперь найдём амплитудное значение силы тока:

$I_m = \frac{U_m}{Z} = \frac{169.7 \text{ В}}{163 \text{ Ом}} \approx 1.04$ А.

Ответ: Амплитудное значение силы тока в цепи составляет примерно $1.04$ А.

Постройте векторную диаграмму и определите сдвиг фаз между силой тока и напряжением.

В последовательной RC-цепи сила тока $\text{I}$ одинакова для всех элементов. Поэтому вектор силы тока $I_m$ принимается за базовый и откладывается по горизонтальной оси.

Напряжение на резисторе $U_R$ совпадает по фазе с током, поэтому его вектор $U_{Rm}$ также направлен по горизонтальной оси. Его амплитуда $U_{Rm} = I_m R$.

Напряжение на конденсаторе $U_C$ отстаёт по фазе от тока на $90^\circ$ ($\pi/2$), поэтому его вектор $U_{Cm}$ направлен вертикально вниз. Его амплитуда $U_{Cm} = I_m X_C$.

Полное напряжение в цепи $U_m$ является векторной суммой напряжений на резисторе и конденсаторе: $\vec{U_m} = \vec{U_{Rm}} + \vec{U_{Cm}}$. Векторная диаграмма представляет собой прямоугольный треугольник, где катетами являются векторы $U_{Rm}$ и $U_{Cm}$, а гипотенузой — вектор полного напряжения $U_m$.

Сдвиг фаз $\phi$ — это угол между вектором полного напряжения $U_m$ и вектором тока $I_m$. Из векторной диаграммы (треугольника напряжений или треугольника сопротивлений) можно найти тангенс этого угла:

$\tan \phi = \frac{-U_{Cm}}{U_{Rm}} = \frac{-I_m X_C}{I_m R} = -\frac{X_C}{R}$

Знак "минус" указывает на то, что напряжение отстает от тока по фазе (что характерно для цепи с ёмкостной нагрузкой).

$\tan \phi = -\frac{63.7 \text{ Ом}}{150 \text{ Ом}} \approx -0.425$

Отсюда находим угол сдвига фаз:

$\phi = \arctan(-0.425) \approx -23^\circ$ (или $-0.4$ рад).

Это означает, что колебания напряжения отстают от колебаний силы тока на $23^\circ$.

Ответ: Векторная диаграмма представляет собой прямоугольный треугольник напряжений, где вектор напряжения на резисторе совпадает с вектором тока, а вектор напряжения на конденсаторе отстает от него на $90^\circ$. Сдвиг фаз между напряжением и силой тока составляет примерно $-23^\circ$ (напряжение отстает от тока).