Номер 5.135, страница 122 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 5. Электромагнитные колебания. Активное и реактивное сопротивления. Закон Ома для цепи переменного тока - номер 5.135, страница 122.

Условие.

5.135. Последовательно с проводником сопротивлением 1 кОм включены катушка индуктивностью 0,5 Гн и конденсатор ёмкостью 1 мкФ (рис. 5.25). Определите индуктивное, ёмкостное и полное сопротивление цепи переменного тока при частоте: а) 50 Гц; б) 10 кГц.

Рис. 5.25

Решение.

Дано:

$R = 1 \text{ кОм} = 1 \cdot 10^3 \text{ Ом}$
$L = 0,5 \text{ Гн}$
$C = 1 \text{ мкФ} = 1 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}$
$f_a = 50 \text{ Гц}$
$f_б = 10 \text{ кГц} = 10 \cdot 10^3 \text{ Гц} = 10^4 \text{ Гц}$

Найти:

$X_L, X_C, Z$ — для частот $f_a$ и $f_б$.

Решение:

Индуктивное сопротивление ($X_L$), ёмкостное сопротивление ($X_C$) и полное сопротивление (импеданс) цепи ($\text{Z}$) для последовательного RLC-контура определяются по формулам:

Индуктивное сопротивление: $X_L = \omega L = 2\pi f L$

Ёмкостное сопротивление: $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2\pi f C}$

Полное сопротивление: $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$

Рассчитаем эти величины для двух заданных частот.

а) 50 Гц

1. Найдём индуктивное сопротивление при частоте $f_a = 50 \text{ Гц}$:

$X_{L_a} = 2\pi f_a L = 2 \cdot 3,14 \cdot 50 \text{ Гц} \cdot 0,5 \text{ Гн} = 157 \text{ Ом}$

2. Найдём ёмкостное сопротивление при частоте $f_a = 50 \text{ Гц}$:

$X_{C_a} = \frac{1}{2\pi f_a C} = \frac{1}{2 \cdot 3,14 \cdot 50 \text{ Гц} \cdot 1 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}} \approx 3185 \text{ Ом} \approx 3,19 \text{ кОм}$

3. Найдём полное сопротивление цепи при частоте $f_a = 50 \text{ Гц}$:

$Z_a = \sqrt{R^2 + (X_{L_a} - X_{C_a})^2} = \sqrt{(1000 \text{ Ом})^2 + (157 \text{ Ом} - 3185 \text{ Ом})^2} = \sqrt{1000^2 + (-3028)^2} = \sqrt{1000000 + 9168784} \approx \sqrt{10168784} \approx 3189 \text{ Ом} \approx 3,19 \text{ кОм}$

Ответ: Индуктивное сопротивление $X_{L_a} = 157 \text{ Ом}$, ёмкостное сопротивление $X_{C_a} \approx 3,19 \text{ кОм}$, полное сопротивление $Z_a \approx 3,19 \text{ кОм}$.

б) 10 кГц

1. Найдём индуктивное сопротивление при частоте $f_б = 10 \text{ кГц}$:

$X_{L_б} = 2\pi f_б L = 2 \cdot 3,14 \cdot 10^4 \text{ Гц} \cdot 0,5 \text{ Гн} = 31400 \text{ Ом} = 31,4 \text{ кОм}$

2. Найдём ёмкостное сопротивление при частоте $f_б = 10 \text{ кГц}$:

$X_{C_б} = \frac{1}{2\pi f_б C} = \frac{1}{2 \cdot 3,14 \cdot 10^4 \text{ Гц} \cdot 1 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}} \approx 15,9 \text{ Ом}$

3. Найдём полное сопротивление цепи при частоте $f_б = 10 \text{ кГц}$:

$Z_б = \sqrt{R^2 + (X_{L_б} - X_{C_б})^2} = \sqrt{(1000 \text{ Ом})^2 + (31400 \text{ Ом} - 15,9 \text{ Ом})^2} = \sqrt{1000^2 + (31384,1)^2} = \sqrt{1000000 + 984967393} \approx \sqrt{985967393} \approx 31400 \text{ Ом} \approx 31,4 \text{ кОм}$

Ответ: Индуктивное сопротивление $X_{L_б} \approx 31,4 \text{ кОм}$, ёмкостное сопротивление $X_{C_б} \approx 15,9 \text{ Ом}$, полное сопротивление $Z_б \approx 31,4 \text{ кОм}$.