Номер 5.126, страница 121 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 5. Электромагнитные колебания. Активное и реактивное сопротивления. Закон Ома для цепи переменного тока - номер 5.126, страница 121.

Условие.

5.126.Когда на катушку с железным сердечником подали постоянное напряжение 10 В, сила тока была равна 1 А. Таким же будет действующее значение силы тока в цепи, если на катушку подать переменное напряжение с действующим значением 50 В стандартной частоты. Найдите индуктивность катушки. Как изменится сила тока в каждом из указанных случаев, если из катушки вынуть сердечник?

Решение.

Дано:

Напряжение в цепи постоянного тока $U_{пост} = 10$ В

Сила тока в цепи постоянного тока $I_{пост} = 1$ А

Действующее напряжение в цепи переменного тока $U_{перем} = 50$ В

Стандартная частота переменного тока $f = 50$ Гц

(Все данные представлены в системе СИ)

Найти:

$I_{перем}$ - действующее значение силы переменного тока

$\text{L}$ - индуктивность катушки с сердечником

Как изменится сила тока $I_{пост}$ и $I_{перем}$ при удалении сердечника

Решение:

Сначала определим активное сопротивление обмотки катушки $\text{R}$. В цепи постоянного тока после завершения переходных процессов индуктивность не оказывает сопротивления, и ток определяется только активным сопротивлением. По закону Ома:

$R = \frac{U_{пост}}{I_{пост}} = \frac{10 \text{ В}}{1 \text{ А}} = 10 \text{ Ом}$

Таким же будет действующее значение силы тока в цепи, если на катушку подать переменное напряжение с действующим значением 50 В стандартной частоты.

Формулировка "Таким же будет..." является неоднозначной. Наиболее вероятная трактовка, которая делает задачу решаемой, заключается в том, что это не вопрос, а условие: действующее значение силы тока в цепи переменного тока такое же, как и в цепи постоянного тока.

Принимая это условие, получаем, что действующее значение силы переменного тока $I_{перем} = I_{пост} = 1 \text{ А}$.

Ответ: Действующее значение силы тока будет равно 1 А.

Найдите индуктивность катушки.

Зная силу переменного тока, найдем полное сопротивление цепи (импеданс) $\text{Z}$ по закону Ома для переменного тока:

$Z = \frac{U_{перем}}{I_{перем}} = \frac{50 \text{ В}}{1 \text{ А}} = 50 \text{ Ом}$

Полное сопротивление катушки в цепи переменного тока связано с ее активным сопротивлением $\text{R}$ и индуктивным (реактивным) сопротивлением $X_L$ следующей формулой:

$Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$

Выразим и вычислим индуктивное сопротивление:

$X_L = \sqrt{Z^2 - R^2} = \sqrt{50^2 - 10^2} = \sqrt{2500 - 100} = \sqrt{2400} = \sqrt{400 \cdot 6} = 20\sqrt{6} \text{ Ом}$

Индуктивное сопротивление также определяется по формуле $X_L = \omega L = 2\pi f L$, где $\text{f}$ — частота переменного тока. Отсюда найдем индуктивность $\text{L}$:

$L = \frac{X_L}{2\pi f} = \frac{20\sqrt{6}}{2\pi \cdot 50} = \frac{20\sqrt{6}}{100\pi} = \frac{\sqrt{6}}{5\pi} \text{ Гн}$

Вычислим приближенное значение:

$L \approx \frac{2.45}{5 \cdot 3.14} \approx 0.156 \text{ Гн} = 156 \text{ мГн}$

Ответ: Индуктивность катушки составляет $L = \frac{\sqrt{6}}{5\pi}$ Гн, что примерно равно 0.156 Гн.

Как изменится сила тока в каждом из указанных случаев, если из катушки вынуть сердечник?

1. В цепи постоянного тока:

Сила установившегося постоянного тока зависит только от напряжения и активного сопротивления: $I_{пост} = U_{пост} / R$. Удаление железного сердечника изменяет индуктивность катушки, но не ее активное сопротивление $\text{R}$. Следовательно, сила постоянного тока не изменится.

2. В цепи переменного тока:

Индуктивность катушки $\text{L}$ прямо пропорциональна магнитной проницаемости материала сердечника $\mu$. У железа магнитная проницаемость $\mu_{железа}$ в сотни и тысячи раз больше, чем у воздуха ($\mu_{воздуха} \approx 1$). При удалении сердечника индуктивность $\text{L}$ катушки значительно уменьшится. Это приведет к уменьшению индуктивного сопротивления $X_L = 2\pi f L$. В свою очередь, уменьшится и полное сопротивление цепи $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$. Так как напряжение $U_{перем}$ остается неизменным, сила тока $I_{перем} = U_{перем} / Z$ значительно увеличится.

Ответ: В цепи постоянного тока сила тока не изменится. В цепи переменного тока сила тока значительно увеличится.