Номер 5.147, страница 124 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 5. Электромагнитные колебания. Активное и реактивное сопротивления. Закон Ома для цепи переменного тока - номер 5.147, страница 124.

Условие.

5.147.В цепи переменного тока с частотой 50 Гц последовательно соединены катушка индуктивностью $\text{L}$ и конденсатор ёмкостью $\text{C}$. Каким должно быть произведение $\text{LC}$, чтобы цепь находилась в режиме резонанса?

Решение.

Дано

Частота переменного тока, $f = 50$ Гц.

Найти:

Произведение индуктивности на ёмкость, $\text{LC}$.

Решение

Резонанс в цепи переменного тока, состоящей из последовательно соединенных катушки индуктивности $\text{L}$ и конденсатора ёмкостью $\text{C}$, наступает, когда индуктивное сопротивление $X_L$ становится равным ёмкостному сопротивлению $X_C$. Это явление называется резонансом напряжений.

Условие резонанса записывается как:

$X_L = X_C$

Индуктивное и ёмкостное сопротивления определяются формулами:

$X_L = \omega L = 2\pi f L$

$X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2\pi f C}$

где $\omega$ — циклическая частота, а $\text{f}$ — линейная частота тока.

Подставим эти выражения в условие резонанса:

$2\pi f L = \frac{1}{2\pi f C}$

Из этого уравнения выразим искомое произведение $\text{LC}$. Для этого умножим обе части уравнения на $\text{C}$ и разделим на $2\pi f$:

$(2\pi f)^2 LC = 1$

$LC = \frac{1}{(2\pi f)^2}$

Теперь подставим заданное значение частоты $f = 50$ Гц:

$LC = \frac{1}{(2\pi \cdot 50 \text{ Гц})^2} = \frac{1}{(100\pi)^2} = \frac{1}{10000\pi^2} \text{ с}^2$

Вычислим приближенное значение, приняв $\pi \approx 3,1416$:

$LC \approx \frac{1}{10000 \cdot (3,1416)^2} \approx \frac{1}{10000 \cdot 9,8696} \approx \frac{1}{98696} \approx 1,013 \cdot 10^{-5} \text{ с}^2$

Округлим результат, учитывая, что исходное значение частоты (50 Гц) имеет две значащие цифры.

$LC \approx 1,0 \cdot 10^{-5} \text{ с}^2$

Ответ: Произведение индуктивности на ёмкость должно быть равно $LC = \frac{1}{10000\pi^2} \text{ с}^2 \approx 1,0 \cdot 10^{-5} \text{ с}^2$.