Номер 5.153, страница 125 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 5. Электромагнитные колебания. Активное и реактивное сопротивления. Закон Ома для цепи переменного тока - номер 5.153, страница 125.

Условие.

5.153. В схеме, приведённой на рисунке 5.31, амперметр показывает $3 \text{ А}$, вольтметр V1 — $12 \text{ В}$ и вольтметр V2 — $24 \text{ В}$. Найдите активное и индуктивное сопротивление катушки, если цепь находится в режиме резонанса.

Рис. 5.31

Решение.

Дано:

Сила тока в цепи, $I = 3 \text{ А}$
Показание вольтметра V1 (напряжение на конденсаторе), $U_1 = U_C = 12 \text{ В}$
Показание вольтметра V2 (напряжение на катушке и конденсаторе), $U_2 = 24 \text{ В}$
Все величины даны в системе СИ.

Найти:

Активное сопротивление катушки $R - ?$
Индуктивное сопротивление катушки $X_L - ?$

Решение:

Схема на рисунке представляет собой последовательную цепь, состоящую из катушки индуктивности (которая обладает как активным сопротивлением $\text{R}$, так и индуктивным сопротивлением $X_L$) и конденсатора (с емкостным сопротивлением $X_C$).

Вольтметр V1 измеряет напряжение на конденсаторе $U_C$. Амперметр A измеряет общий ток в цепи $\text{I}$. Вольтметр V2 измеряет общее напряжение на последовательно соединенных катушке и конденсаторе, $U_{RLC}$.

Согласно условию, цепь находится в режиме резонанса. Для последовательного RLC-контура режим резонанса (резонанс напряжений) наступает, когда индуктивное сопротивление равно емкостному:

$X_L = X_C$

Напряжения на индуктивности $U_L$ и на емкости $U_C$ определяются по закону Ома:

$U_L = I \cdot X_L$

$U_C = I \cdot X_C$

Из условия $X_L = X_C$ следует, что модули напряжений на индуктивности и емкости равны:

$U_L = U_C$

Вольтметр V1 показывает напряжение на конденсаторе $U_C = 12 \text{ В}$. Следовательно, напряжение на индуктивной части катушки также составляет 12 В:

$U_L = 12 \text{ В}$

Зная напряжение $U_L$ и ток $\text{I}$, мы можем найти индуктивное сопротивление катушки $X_L$:

$X_L = \frac{U_L}{I} = \frac{12 \text{ В}}{3 \text{ А}} = 4 \text{ Ом}$

Вольтметр V2 измеряет общее напряжение на RLC-участке. Это напряжение является векторной суммой напряжений на активном сопротивлении $U_R$, индуктивности $U_L$ и емкости $U_C$. Напряжения $U_L$ и $U_C$ находятся в противофазе (сдвиг фаз 180°), а напряжение $U_R$ сдвинуто по фазе относительно них на 90°. Модуль общего напряжения $U_{RLC}$ вычисляется по формуле:

$U_{RLC} = \sqrt{U_R^2 + (U_L - U_C)^2}$

Поскольку в цепи наблюдается резонанс, $U_L = U_C$, и разность $(U_L - U_C) = 0$. Формула упрощается до:

$U_{RLC} = \sqrt{U_R^2} = U_R$

Таким образом, в режиме резонанса показание вольтметра V2 равно напряжению на активном сопротивлении катушки. Из условия задачи $U_2 = U_{RLC} = 24 \text{ В}$, следовательно:

$U_R = 24 \text{ В}$

Теперь, используя закон Ома для активного сопротивления, мы можем найти его величину:

$R = \frac{U_R}{I} = \frac{24 \text{ В}}{3 \text{ А}} = 8 \text{ Ом}$

Ответ: Активное сопротивление катушки $R = 8$ Ом, индуктивное сопротивление катушки $X_L = 4$ Ом.