Номер 5.157, страница 125 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 5. Электромагнитные колебания. Активное и реактивное сопротивления. Закон Ома для цепи переменного тока - номер 5.157, страница 125.

Условие.

5.157. На рисунке 5.32 приведены резонансные кривые 1 и 2 последовательной цепи переменного тока, содержащей реостат, для разных значений активного сопротивления цепи. Амплитуда напряжения 6 В поддерживается неизменной, ёмкость конденсатора 0,5 мФ. Определите:

а) какая кривая соответствует большему сопротивлению;

б) активное сопротивление цепи;

в) индуктивность катушки.

Рис. 5.32

Решение.

Дано:

Амплитуда напряжения $U_m = 6$ В

Ёмкость конденсатора $C = 0,5$ мФ

Из графика (Рис. 5.32):

Резонансная угловая частота $\omega_{рез} = 200$ рад/с

Максимальная амплитуда тока для кривой 1: $I_{m1,рез} = 1,5$ А

Максимальная амплитуда тока для кривой 2: $I_{m2,рез} = 0,75$ А

Перевод в систему СИ:

$C = 0,5 \text{ мФ} = 0,5 \cdot 10^{-3} \text{ Ф} = 5 \cdot 10^{-4} \text{ Ф}$

Найти:

а) Какая кривая соответствует большему сопротивлению?

б) Активные сопротивления $R_1$ и $R_2$.

в) Индуктивность катушки $\text{L}$.

Решение:

а) какая кривая соответствует большему сопротивлению

Амплитуда силы тока $I_m$ в последовательной RLC-цепи определяется по закону Ома для цепи переменного тока: $I_m = \frac{U_m}{Z}$, где $U_m$ — амплитуда напряжения, а $\text{Z}$ — полное сопротивление (импеданс) цепи, которое вычисляется по формуле $Z = \sqrt{R^2 + (\omega L - \frac{1}{\omega C})^2}$.

Явление резонанса наступает, когда реактивное сопротивление цепи равно нулю, то есть индуктивное сопротивление $\omega L$ равно емкостному сопротивлению $\frac{1}{\omega C}$. В этот момент угловая частота $\omega$ называется резонансной $\omega_{рез}$.

При резонансе полное сопротивление цепи $\text{Z}$ становится минимальным и равным активному сопротивлению $\text{R}$: $Z_{min} = R$. Соответственно, амплитуда тока достигает своего максимального (резонансного) значения: $I_{m,рез} = \frac{U_m}{R}$.

Из полученной формулы следует, что резонансная амплитуда тока обратно пропорциональна активному сопротивлению цепи. Чем больше сопротивление $\text{R}$, тем меньше пик тока $I_{m,рез}$ на резонансной кривой.

Сравнивая пиковые значения тока на графике, видим, что для кривой 1 максимальный ток $I_{m1,рез} = 1,5$ А, а для кривой 2 — $I_{m2,рез} = 0,75$ А. Поскольку $I_{m1,рез} > I_{m2,рез}$, то соответствующее сопротивление $R_1$ будет меньше, чем $R_2$. Следовательно, кривая 2 соответствует большему активному сопротивлению.

Ответ: Большему сопротивлению соответствует кривая 2.

б) активное сопротивление цепи

Используя формулу для резонансного тока $R = \frac{U_m}{I_{m,рез}}$, рассчитаем значения активного сопротивления для каждой кривой.

Для кривой 1:

$R_1 = \frac{U_m}{I_{m1,рез}} = \frac{6 \text{ В}}{1,5 \text{ А}} = 4 \text{ Ом}$

Для кривой 2:

$R_2 = \frac{U_m}{I_{m2,рез}} = \frac{6 \text{ В}}{0,75 \text{ А}} = 8 \text{ Ом}$

Ответ: Активное сопротивление для кривой 1 равно 4 Ом, для кривой 2 — 8 Ом.

в) индуктивность катушки

Индуктивность катушки можно найти из условия резонанса: $\omega_{рез}L = \frac{1}{\omega_{рез}C}$.

Выразим индуктивность $\text{L}$: $L = \frac{1}{\omega_{рез}^2 C}$.

Из графика видно, что резонанс для обеих кривых наступает при одной и той же угловой частоте $\omega_{рез} = 200$ рад/с. Подставим известные значения в формулу:

$L = \frac{1}{(200 \text{ рад/с})^2 \cdot 0,5 \cdot 10^{-3} \text{ Ф}} = \frac{1}{40000 \cdot 0,5 \cdot 10^{-3} \text{ Ф}} = \frac{1}{20} \text{ Гн} = 0,05 \text{ Гн}$

Ответ: Индуктивность катушки равна 0,05 Гн.