Номер 5.152, страница 125 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 5. Электромагнитные колебания. Активное и реактивное сопротивления. Закон Ома для цепи переменного тока - номер 5.152, страница 125.

Условие.

5.152. Резонансная частота колебательного контура 50 кГц. Как нужно изменить расстояние между пластинами плоского конденсатора в этом контуре, чтобы резонансная частота стала равной 70 кГц?

Решение.

Дано:

$f_1 = 50$ кГц
$f_2 = 70$ кГц

$f_1 = 50 \cdot 10^3$ Гц
$f_2 = 70 \cdot 10^3$ Гц

Найти:

$\frac{d_2}{d_1} - ?$

Решение:

Резонансная (собственная) частота колебательного LC-контура определяется формулой Томсона:

$f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$

где $\text{L}$ – индуктивность катушки, а $\text{C}$ – емкость конденсатора.

Емкость плоского конденсатора зависит от расстояния $\text{d}$ между его пластинами по формуле:

$C = \frac{\varepsilon \varepsilon_0 S}{d}$

где $\varepsilon$ – диэлектрическая проницаемость среды между пластинами, $\varepsilon_0$ – электрическая постоянная, $\text{S}$ – площадь пластин.

В задаче изменяется только расстояние между пластинами конденсатора $\text{d}$, а индуктивность катушки $\text{L}$ и другие параметры конденсатора ($\varepsilon, S$) остаются неизменными.

Выразим емкость из формулы Томсона:

$\sqrt{LC} = \frac{1}{2\pi f} \implies LC = \frac{1}{(2\pi f)^2} \implies C = \frac{1}{4\pi^2 f^2 L}$

Из этой формулы видно, что емкость обратно пропорциональна квадрату частоты: $C \sim \frac{1}{f^2}$.

С другой стороны, из формулы для плоского конденсатора видно, что емкость обратно пропорциональна расстоянию между пластинами: $C \sim \frac{1}{d}$.

Следовательно, мы можем записать, что $\frac{1}{d} \sim \frac{1}{f^2}$, или $d \sim f^2$.

Запишем это соотношение для начального и конечного состояний:

$\frac{d_2}{d_1} = \frac{f_2^2}{f_1^2} = \left(\frac{f_2}{f_1}\right)^2$

Теперь подставим числовые значения в полученную формулу:

$\frac{d_2}{d_1} = \left(\frac{70 \text{ кГц}}{50 \text{ кГц}}\right)^2 = \left(\frac{7}{5}\right)^2 = (1.4)^2 = 1.96$

Таким образом, чтобы резонансная частота увеличилась с 50 кГц до 70 кГц, новое расстояние $d_2$ должно быть в 1,96 раза больше начального расстояния $d_1$.

Ответ: расстояние между пластинами конденсатора нужно увеличить в 1,96 раза.