Номер 5.154, страница 125 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 5. Электромагнитные колебания. Активное и реактивное сопротивления. Закон Ома для цепи переменного тока - номер 5.154, страница 125.

Условие.

5.154*. В цепь включены последовательно резистор сопротивлением 5 Ом, катушка индуктивностью 0,5 мГн и конденсатор ёмкостью 0,2 мкФ. Рис. 5.31. Найдите:

а) циклическую частоту тока, при которой наступит резонанс;

б) амплитуду силы тока в цепи при резонансе, если амплитуда напряжения 380 В.

Решение.

Дано:

Сопротивление резистора, $R = 5$ Ом

Индуктивность катушки, $L = 0,5$ мГн $= 0,5 \cdot 10^{-3}$ Гн

Ёмкость конденсатора, $C = 0,2$ мкФ $= 0,2 \cdot 10^{-6}$ Ф

Амплитуда напряжения, $U_m = 380$ В

Найти:

а) $\omega_0$ - ?

б) $I_m$ - ?

Решение:

а) циклическую частоту тока, при которой наступит резонанс

Резонанс напряжений в последовательной RLC-цепи наступает, когда индуктивное сопротивление катушки $X_L$ становится равным ёмкостному сопротивлению конденсатора $X_C$.

Индуктивное сопротивление определяется формулой $X_L = \omega L$, а ёмкостное — $X_C = \frac{1}{\omega C}$.

При резонансе $\omega = \omega_0$ и $X_L = X_C$, следовательно:

$\omega_0 L = \frac{1}{\omega_0 C}$

Отсюда можно выразить резонансную циклическую частоту $\omega_0$ (формула Томсона):

$\omega_0^2 = \frac{1}{LC}$

$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{0,5 \cdot 10^{-3} \text{ Гн} \cdot 0,2 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}}} = \frac{1}{\sqrt{0,1 \cdot 10^{-9}}} = \frac{1}{\sqrt{10^{-10}}} = \frac{1}{10^{-5}} = 10^5$ рад/с.

Ответ: $10^5$ рад/с.

б) амплитуду силы тока в цепи при резонансе, если амплитуда напряжения 380 В

Амплитуда силы тока в цепи переменного тока находится по закону Ома:

$I_m = \frac{U_m}{Z}$

где $\text{Z}$ — полное сопротивление цепи (импеданс), которое вычисляется по формуле:

$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = \sqrt{R^2 + (\omega L - \frac{1}{\omega C})^2}$

В условиях резонанса, как мы установили в пункте а), $X_L = X_C$, поэтому реактивное сопротивление цепи $(X_L - X_C)$ равно нулю. Следовательно, полное сопротивление цепи $\text{Z}$ становится минимальным и равным активному сопротивлению $\text{R}$:

$Z = \sqrt{R^2 + 0^2} = R$

Тогда амплитуда силы тока при резонансе будет максимальной и равной:

$I_m = \frac{U_m}{R}$

Подставим значения:

$I_m = \frac{380 \text{ В}}{5 \text{ Ом}} = 76$ А.

Ответ: 76 А.