Номер 5.149, страница 124 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 5. Электромагнитные колебания. Активное и реактивное сопротивления. Закон Ома для цепи переменного тока - номер 5.149, страница 124.

Условие.

5.149. В цепь включены последовательно катушка индуктивностью 50 мГн и конденсатор ёмкостью 20 мкФ. Найдите частоту переменного тока, при которой цепь окажется в режиме резонанса.

Решение.

Дано

Индуктивность катушки, $L = 50$ мГн = $50 \times 10^{-3}$ Гн = $5 \times 10^{-2}$ Гн

Ёмкость конденсатора, $C = 20$ мкФ = $20 \times 10^{-6}$ Ф = $2 \times 10^{-5}$ Ф

Найти:

Частота переменного тока в режиме резонанса, $\nu$ — ?

Решение

Резонанс в последовательном колебательном контуре, состоящем из катушки индуктивности и конденсатора, наступает при такой частоте переменного тока, когда индуктивное сопротивление катушки $X_L$ становится равным ёмкостному сопротивлению конденсатора $X_C$.

$X_L = X_C$

Индуктивное сопротивление определяется формулой $X_L = \omega L = 2\pi\nu L$, где $\omega$ — циклическая частота, $\nu$ — линейная частота тока, а $\text{L}$ — индуктивность.

Ёмкостное сопротивление определяется формулой $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2\pi\nu C}$, где $\text{C}$ — ёмкость.

Приравнивая эти выражения, получаем условие для резонансной частоты $\nu_0$:

$2\pi\nu_0 L = \frac{1}{2\pi\nu_0 C}$

Выразим из этого уравнения резонансную частоту $\nu_0$. Это соотношение известно как формула Томсона:

$(2\pi\nu_0)^2 = \frac{1}{LC}$

$2\pi\nu_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$

$\nu_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$

Подставим числовые значения из условия задачи, переведенные в систему СИ:

$\nu_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{5 \times 10^{-2} \text{ Гн} \times 2 \times 10^{-5} \text{ Ф}}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{10 \times 10^{-7} \text{ с}^2}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{10^{-6} \text{ с}^2}}$

$\nu_0 = \frac{1}{2\pi \times 10^{-3} \text{ с}} = \frac{1000}{2\pi}$ Гц

Вычислим приближенное значение, приняв $\pi \approx 3,1416$:

$\nu_0 \approx \frac{1000}{2 \times 3,1416} = \frac{1000}{6,2832} \approx 159,15$ Гц

Округляя, получаем $\nu_0 \approx 159$ Гц.

Ответ: частота переменного тока, при которой цепь окажется в режиме резонанса, составляет примерно 159 Гц.