Номер 5.146, страница 124 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 5. Электромагнитные колебания. Активное и реактивное сопротивления. Закон Ома для цепи переменного тока - номер 5.146, страница 124.

Условие.

5.146. Как будет изменяться накал лампы (рис. 5.30) при изменении частоты переменного тока от 0 до $\infty$? Амплитуда напряжения источника переменного тока не изменяется.

Рис. 5.30

Решение.

а)

Решение

В схеме на рисунке «а» лампа с активным сопротивлением $\text{R}$ включена последовательно с катушкой индуктивности $\text{L}$ и конденсатором $\text{C}$. Яркость свечения лампы определяется мощностью, выделяемой на ней, которая пропорциональна квадрату силы тока ($P = I^2 R$). Сила тока $\text{I}$ в цепи зависит от полного сопротивления (импеданса) $\text{Z}$ согласно закону Ома для переменного тока: $I = U/Z$, где $\text{U}$ – постоянная амплитуда напряжения источника.

Полное сопротивление для последовательной RLC-цепи вычисляется по формуле:

$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = \sqrt{R^2 + (\omega L - \frac{1}{\omega C})^2}$

где $\omega = 2\pi f$ – циклическая частота тока, $X_L = \omega L$ – индуктивное сопротивление, а $X_C = 1/(\omega C)$ – емкостное сопротивление.

Рассмотрим, как меняется импеданс $\text{Z}$ и, следовательно, ток $\text{I}$ при изменении частоты от 0 до $\infty$:

1. При частоте $f \to 0$ (или $\omega \to 0$), емкостное сопротивление $X_C \to \infty$, а индуктивное $X_L \to 0$. Полное сопротивление $Z \to \infty$, поэтому ток в цепи $I \to 0$. Лампа не горит.

2. При частоте $f \to \infty$ (или $\omega \to \infty$), индуктивное сопротивление $X_L \to \infty$, а емкостное $X_C \to 0$. Полное сопротивление $Z \to \infty$, поэтому ток в цепи $I \to 0$. Лампа снова не горит.

3. Существует резонансная частота $f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ (или $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$), при которой индуктивное и емкостное сопротивления равны: $X_L = X_C$. В этом случае реактивная часть импеданса равна нулю, и полное сопротивление цепи минимально: $Z_{min} = R$. Сила тока достигает максимального значения $I_{max} = U/R$, и лампа горит с максимальной яркостью.

Таким образом, при увеличении частоты от 0, накал лампы возрастает от нуля до максимального значения при резонансной частоте, а затем убывает обратно до нуля при дальнейшем увеличении частоты.

Ответ: При увеличении частоты от 0 до $\infty$ накал лампы сначала плавно возрастает, достигает максимума при резонансной частоте $f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$, а затем плавно убывает до нуля.

б)

Решение

В схеме на рисунке «б» лампа с активным сопротивлением $\text{R}$ включена последовательно с параллельным колебательным контуром, состоящим из катушки $\text{L}$ и конденсатора $\text{C}$. Сила тока, протекающего через лампу, зависит от общего импеданса цепи $Z_{общ}$.

Общий импеданс цепи равен сумме сопротивления лампы и импеданса параллельного LC-контура $Z_{LC}$:

$Z_{общ} = R + Z_{LC}$

Модуль импеданса параллельного LC-контура (без учета активного сопротивления катушки) равен:

$|Z_{LC}| = \frac{X_L X_C}{|X_L - X_C|} = \frac{\omega L \cdot \frac{1}{\omega C}}{|\omega L - \frac{1}{\omega C}|} = \frac{L/C}{|\omega L - \frac{1}{\omega C}|} = \frac{\omega L}{|1 - \omega^2 LC|}$

Полное сопротивление всей цепи: $|Z_{общ}| = \sqrt{R^2 + |Z_{LC}|^2}$.

Рассмотрим поведение цепи при изменении частоты:

1. При частоте $f \to 0$ (или $\omega \to 0$), сопротивление катушки $X_L = \omega L \to 0$. Катушка представляет собой короткое замыкание для постоянного тока. Следовательно, импеданс параллельного участка $|Z_{LC}| \to 0$. Общее сопротивление цепи стремится к сопротивлению лампы: $|Z_{общ}| \to R$. Ток в цепи $I \approx U/R$, и лампа горит ярко.

2. При частоте $f \to \infty$ (или $\omega \to \infty$), сопротивление конденсатора $X_C = 1/(\omega C) \to 0$. Конденсатор представляет собой короткое замыкание для токов очень высокой частоты. Импеданс параллельного участка $|Z_{LC}| \to 0$. Общее сопротивление цепи снова стремится к сопротивлению лампы: $|Z_{общ}| \to R$. Ток в цепи $I \approx U/R$, и лампа горит ярко.

3. При резонансной частоте $f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ (или $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$) в параллельном контуре наступает резонанс токов. В этом случае знаменатель выражения для $|Z_{LC}|$ обращается в ноль, и импеданс параллельного контура становится бесконечно большим: $|Z_{LC}| \to \infty$. Параллельный LC-контур представляет собой разрыв в цепи. Общее сопротивление $|Z_{общ}| \to \infty$, а ток через лампу $I \to 0$. Лампа гаснет.

Таким образом, при увеличении частоты от 0, накал лампы убывает от максимального значения до нуля (при резонансе), а затем снова возрастает до максимального значения.

Ответ: При увеличении частоты от 0 до $\infty$ накал лампы сначала максимален, затем плавно убывает до нуля при резонансной частоте $f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$, а после снова плавно возрастает до первоначальной максимальной яркости.