Номер 7.105, страница 159 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 7. Геометрическая оптика. Преломление света. Полное внутреннее отражение - номер 7.105, страница 159.

Условие.

7.105*. Определите, во сколько раз истинная глубина водоёма больше кажущейся, если смотреть по вертикали вниз.

Решение.

Дано:

$n_1$ - показатель преломления воды

$n_2$ - показатель преломления воздуха

$\text{H}$ - истинная глубина водоёма

$\text{h}$ - кажущаяся глубина водоёма

Показатель преломления воды $n_1 = n_{воды} \approx 1,33$ (или $4/3$).

Показатель преломления воздуха $n_2 = n_{воздуха} \approx 1$.

Найти:

Отношение истинной глубины к кажущейся: $\frac{H}{h}$.

Решение:

Когда мы смотрим на дно водоёма, лучи света идут от дна (из более плотной оптической среды - воды) в воздух (менее плотную среду) и попадают в наш глаз. На границе раздела двух сред (поверхности воды) происходит преломление света.

Рассмотрим два луча, выходящие из одной точки $\text{O}$ на дне водоёма на истинной глубине $\text{H}$. Один луч падает на поверхность воды перпендикулярно (по нормали) и проходит в воздух, не преломляясь. Второй луч падает на поверхность под малым углом падения $\text{i}$ и, преломившись, выходит в воздух под углом преломления $\text{r}$. Наблюдателю, который смотрит вертикально вниз, кажется, что оба луча выходят из точки $\text{I}$, расположенной на глубине $\text{h}$. Эта глубина $\text{h}$ и есть кажущаяся глубина.

Согласно закону преломления света (закону Снеллиуса):
$n_1 \sin(i) = n_2 \sin(r)$

Поскольку наблюдение ведется по вертикали, углы $\text{i}$ и $\text{r}$ можно считать малыми. Для малых углов справедливы приближения: $\sin(i) \approx \tan(i)$ и $\sin(r) \approx \tan(r)$.

Из геометрии хода лучей можно выразить тангенсы углов через глубины $\text{H}$ и $\text{h}$. Если $\text{x}$ — это малое горизонтальное расстояние от точки входа первого луча до точки входа второго луча на поверхности воды, то:
$\tan(i) = \frac{x}{H}$
$\tan(r) = \frac{x}{h}$

Подставим эти выражения в закон преломления для малых углов:
$n_1 \tan(i) \approx n_2 \tan(r)$
$n_1 \frac{x}{H} = n_2 \frac{x}{h}$

Сократив $\text{x}$, получим:
$\frac{n_1}{H} = \frac{n_2}{h}$

Отсюда найдем искомое отношение $\frac{H}{h}$:
$\frac{H}{h} = \frac{n_1}{n_2}$

Подставим числовые значения для показателей преломления воды ($n_1 \approx 1,33$) и воздуха ($n_2 \approx 1$):
$\frac{H}{h} = \frac{1,33}{1} = 1,33$

Таким образом, истинная глубина больше кажущейся в число раз, равное показателю преломления воды.

Ответ: Истинная глубина водоёма больше кажущейся примерно в 1,33 раза (или в $4/3$ раза), что равно показателю преломления воды.