Номер 7.109, страница 160 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 7. Геометрическая оптика. Преломление света. Полное внутреннее отражение - номер 7.109, страница 160.

Условие.

7.109* На горизонтальном дне бассейна лежит плоское зеркало. Луч света, преломившись на поверхности воды, отражается от зеркала и выходит наружу. Расстояние от места вхождения луча в воду до места выхода отражённого луча из воды 1,5 м. Глубина бассейна 2 м. Определите угол падения луча.

Решение.

Дано:

Расстояние между точками входа и выхода луча $L = 1.5$ м
Глубина бассейна $H = 2$ м
Показатель преломления воздуха $n_1 = 1$
Показатель преломления воды $n_2 = 1.33$

Найти:

Угол падения луча $\alpha$

Решение:

Обозначим угол падения луча на поверхность воды как $\alpha$, а угол преломления — как $\beta$. Луч света, преломившись, проходит в воде расстояние до зеркала, отражается от него и возвращается к поверхности воды. Поскольку зеркало горизонтально, а поверхность воды тоже, путь луча симметричен. Это означает, что угол падения луча на зеркало равен углу отражения, а угол, под которым отраженный луч подходит к поверхности воды изнутри, равен углу преломления $\beta$. При выходе из воды в воздух угол преломления будет равен исходному углу падения $\alpha$ (согласно принципу обратимости световых лучей).

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный путем преломленного луча в воде, перпендикуляром к поверхности (нормалью) и горизонтальной линией на дне. Катетами этого треугольника будут глубина бассейна $\text{H}$ и половина расстояния между точками входа и выхода луча $L/2$.

Горизонтальное смещение луча за один проход через воду равно:

$x = \frac{L}{2} = \frac{1.5 \, \text{м}}{2} = 0.75 \, \text{м}$

Тангенс угла преломления $\beta$ можно найти из геометрии этого треугольника:

$\tan\beta = \frac{x}{H} = \frac{0.75 \, \text{м}}{2 \, \text{м}} = 0.375$

Для применения закона преломления Снеллиуса нам понадобится синус угла $\beta$. Связь между тангенсом и синусом угла выражается формулой:

$\sin\beta = \frac{\tan\beta}{\sqrt{1 + \tan^2\beta}}$

Подставим значение $\tan\beta$:

$\sin\beta = \frac{0.375}{\sqrt{1 + 0.375^2}} = \frac{0.375}{\sqrt{1 + 0.140625}} = \frac{0.375}{\sqrt{1.140625}} \approx \frac{0.375}{1.068} \approx 0.3511$

Теперь применим закон преломления Снеллиуса для границы воздух-вода:

$n_1 \sin\alpha = n_2 \sin\beta$

Поскольку $n_1 = 1$, получаем:

$\sin\alpha = n_2 \sin\beta$

Подставим известные значения:

$\sin\alpha \approx 1.33 \cdot 0.3511 \approx 0.467$

Теперь найдем угол падения $\alpha$, взяв арксинус от полученного значения:

$\alpha = \arcsin(0.467) \approx 27.8^\circ$

Ответ: Угол падения луча составляет приблизительно $27.8^\circ$.