Номер 7.99, страница 159 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 7. Геометрическая оптика. Преломление света. Полное внутреннее отражение - номер 7.99, страница 159.

Условие.

7.99. Мальчик старается попасть палкой в камень, лежащий на дне ручья глубиной 40 см. На каком расстоянии от камня палка попадёт в дно ручья, если мальчик, точно прицелившись, двигает палку под углом 45° к поверхности воды?

Решение.

Дано:

Глубина ручья, $h = 40$ см

Угол, под которым мальчик двигает палку к поверхности воды, $\theta = 45°$

Показатель преломления воды, $n_2 = 4/3$

Показатель преломления воздуха, $n_1 = 1$

Перевод в систему СИ:

$h = 0.4$ м

Найти:

Расстояние от камня, на котором палка попадет в дно, $\Delta x - ?$

Решение:

Из-за явления преломления света на границе двух сред (воды и воздуха) мальчик видит камень не там, где он находится на самом деле, а на мнимом, меньшем углублении и с горизонтальным смещением. Мальчик целится и двигает палку по прямой линии, соответствующей кажущемуся положению камня. Палка же, будучи физическим объектом, не преломляется и продолжает свое движение в воде по прямой.

В задачах по оптике углы падения и преломления отсчитываются от нормали (перпендикуляра) к границе раздела сред. В условии задачи дан угол $45°$ к поверхности воды. Угол между поверхностью и нормалью равен $90°$. Следовательно, угол $\alpha$ между направлением движения палки и нормалью составляет:

$\alpha = 90° - 45° = 45°$

Этот угол $\alpha$ соответствует направлению, по которому мальчик видит камень, то есть это угол преломления для светового луча, идущего от камня из воды в воздух. По этому же направлению мальчик двигает палку.

Определим, в какую точку дна F попадет палка. Если палка входит в воду в точке P, то горизонтальное смещение $x_F$ точки F от вертикали, проходящей через P, можно найти из прямоугольного треугольника:

$x_F = h \cdot \tan\alpha$

$x_F = 0.4 \text{ м} \cdot \tan 45° = 0.4 \text{ м} \cdot 1 = 0.4$ м

Теперь найдем реальное горизонтальное смещение $x_S$ камня S относительно точки входа палки P. Для этого используем закон преломления света (закон Снеллиуса):

$n_2 \sin\beta = n_1 \sin\alpha$

где $\beta$ — угол падения светового луча от камня на границу раздела сред (угол между лучом в воде и нормалью).

Выразим синус угла $\beta$:

$\sin\beta = \frac{n_1}{n_2} \sin\alpha = \frac{1}{4/3} \sin 45° = \frac{3}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{8}$

Реальное горизонтальное смещение камня $x_S$ равно:

$x_S = h \cdot \tan\beta$

Чтобы найти $\tan\beta$, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\cos^2\beta + \sin^2\beta = 1$:

$\cos\beta = \sqrt{1 - \sin^2\beta} = \sqrt{1 - \left(\frac{3\sqrt{2}}{8}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{18}{64}} = \sqrt{1 - \frac{9}{32}} = \sqrt{\frac{23}{32}} = \frac{\sqrt{23}}{4\sqrt{2}}$

Теперь найдем тангенс:

$\tan\beta = \frac{\sin\beta}{\cos\beta} = \frac{3\sqrt{2}/8}{\sqrt{23}/(4\sqrt{2})} = \frac{3\sqrt{2}}{8} \cdot \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{23}} = \frac{12 \cdot 2}{8\sqrt{23}} = \frac{24}{8\sqrt{23}} = \frac{3}{\sqrt{23}}$

Вычислим $x_S$:

$x_S = h \cdot \tan\beta = 0.4 \cdot \frac{3}{\sqrt{23}} = \frac{1.2}{\sqrt{23}} \approx \frac{1.2}{4.796} \approx 0.2502$ м

Искомое расстояние $\Delta x$ — это разница между горизонтальными положениями точки попадания палки F и камня S:

$\Delta x = x_F - x_S = 0.4 \text{ м} - 0.2502 \text{ м} = 0.1498$ м

Переведем результат в сантиметры и округлим: $\Delta x \approx 15$ см.

Ответ: Палка попадет в дно на расстоянии примерно 15 см от камня.