Номер 7.96, страница 158 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 7. Геометрическая оптика. Преломление света. Полное внутреннее отражение - номер 7.96, страница 158.

Условие.

7.96. Под каким углом должен упасть луч на стекло, чтобы преломлённый луч оказался перпендикулярным отражённому (угол Брюстера)?

Решение.

Дано:

Среда 1: воздух, показатель преломления $n_1 = 1$.

Среда 2: стекло, показатель преломления $n_2 = n$.

Условие: отраженный луч перпендикулярен преломленному лучу, то есть угол между ними составляет $90^\circ$.

Найти:

Угол падения $\alpha$, при котором выполняется данное условие (угол Брюстера).

Решение:

Пусть $\alpha$ — угол падения, $\alpha'$ — угол отражения, $\beta$ — угол преломления. Все углы измеряются относительно нормали к границе раздела двух сред.

Согласно закону отражения света, угол падения равен углу отражения:

$\alpha = \alpha'$

Из условия задачи известно, что отраженный и преломленный лучи перпендикулярны. Геометрически это означает, что сумма угла отражения $\alpha'$ и угла преломления $\beta$ равна $90^\circ$ (так как они находятся по разные стороны от нормали):

$\alpha' + \beta = 90^\circ$

Заменим угол отражения $\alpha'$ на равный ему угол падения $\alpha$:

$\alpha + \beta = 90^\circ$

Из этого соотношения выразим угол преломления $\beta$:

$\beta = 90^\circ - \alpha$

Далее используем закон преломления света (закон Снеллиуса):

$n_1 \sin\alpha = n_2 \sin\beta$

Подставим в это уравнение значения показателей преломления ($n_1 = 1$ для воздуха, $n_2 = n$ для стекла) и полученное выражение для угла $\beta$:

$1 \cdot \sin\alpha = n \cdot \sin(90^\circ - \alpha)$

Применим тригонометрическую формулу приведения $\sin(90^\circ - \alpha) = \cos\alpha$. Уравнение примет вид:

$\sin\alpha = n \cos\alpha$

Чтобы найти угол $\alpha$, разделим обе части уравнения на $\cos\alpha$ (это возможно, так как для преломления угол падения должен быть меньше $90^\circ$, а значит, $\cos\alpha \neq 0$):

$\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = n$

Так как отношение синуса к косинусу есть тангенс, получаем:

$\tan\alpha = n$

Это выражение известно как закон Брюстера, а угол $\alpha$, удовлетворяющий этому условию, — угол Брюстера ($\alpha_B$).

Показатель преломления обычного стекла составляет примерно $n \approx 1.5$. Вычислим значение угла для этого случая:

$\alpha = \arctan(1.5) \approx 56.3^\circ$

Ответ: луч должен упасть на стекло под углом $\alpha$, тангенс которого равен показателю преломления стекла $\text{n}$, то есть $\tan\alpha = n$. Этот угол называется углом Брюстера. Для стекла с показателем преломления $n \approx 1.5$ этот угол составляет примерно $56.3^\circ$.