Номер 7.95, страница 158 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 7. Геометрическая оптика. Преломление света. Полное внутреннее отражение - номер 7.95, страница 158.

Условие.

7.95. Под каким углом должен падать луч на поверхность стекла, чтобы угол преломления был в 2 раза меньше угла падения?

Решение.

Дано

$n_1 = 1$ (показатель преломления воздуха, так как среда не указана)

$n_2 = 1.5$ (показатель преломления стекла, среднее табличное значение)

$\beta = \frac{\alpha}{2}$, где $\alpha$ - угол падения, а $\beta$ - угол преломления

Найти:

$\alpha$ - ?

Решение

Запишем закон преломления света (закон Снеллиуса) для границы раздела двух сред воздух-стекло:

$n_1 \sin(\alpha) = n_2 \sin(\beta)$

Подставим в это уравнение данные из условия задачи. Учтем, что луч падает из воздуха ($n_1 = 1$) в стекло ($n_2 \approx 1.5$) и что угол преломления в два раза меньше угла падения ($\beta = \frac{\alpha}{2}$):

$1 \cdot \sin(\alpha) = 1.5 \cdot \sin(\frac{\alpha}{2})$

Для решения этого тригонометрического уравнения воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin(\alpha) = 2 \sin(\frac{\alpha}{2}) \cos(\frac{\alpha}{2})$.

Подставим это выражение в наше уравнение:

$2 \sin(\frac{\alpha}{2}) \cos(\frac{\alpha}{2}) = 1.5 \sin(\frac{\alpha}{2})$

Поскольку нас интересует угол падения, отличный от нуля ($\alpha \neq 0$, следовательно $\sin(\frac{\alpha}{2}) \neq 0$), мы можем разделить обе части уравнения на $\sin(\frac{\alpha}{2})$:

$2 \cos(\frac{\alpha}{2}) = 1.5$

Отсюда находим косинус половины угла падения:

$\cos(\frac{\alpha}{2}) = \frac{1.5}{2} = 0.75$

Теперь найдем значение половины угла падения, взяв арккосинус от полученного значения:

$\frac{\alpha}{2} = \arccos(0.75) \approx 41.41^\circ$

Следовательно, искомый угол падения $\alpha$ равен:

$\alpha = 2 \cdot 41.41^\circ \approx 82.82^\circ$

Ответ: чтобы угол преломления был в 2 раза меньше угла падения, луч должен падать на поверхность стекла под углом примерно $82.8^\circ$.