Номер 7.88, страница 157 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 7. Геометрическая оптика. Преломление света. Полное внутреннее отражение - номер 7.88, страница 157.

Условие.

7.88*. Используя принцип Ферма, получите закон преломления света на плоской границе раздела двух сред.

Решение.

Решение

Принцип Ферма гласит, что реальный путь распространения света из одной точки в другую — это путь, для прохождения которого свету требуется минимальное время (в более общей формулировке — экстремальное, то есть минимальное, максимальное или стационарное). Воспользуемся этим принципом для вывода закона преломления.

Рассмотрим плоскую границу раздела двух однородных изотропных сред с показателями преломления $n_1$ и $n_2$. Пусть свет распространяется из точки A, расположенной в первой среде, в точку B, расположенную во второй среде. Скорости света в этих средах равны соответственно $v_1 = c/n_1$ и $v_2 = c/n_2$, где $\text{c}$ — скорость света в вакууме.

Введем декартову систему координат так, чтобы граница раздела сред совпадала с осью Ox, а точки A и B имели координаты $A(0, h_1)$ и $B(L, -h_2)$, где $h_1 > 0$ и $h_2 > 0$. Пусть луч света переходит из одной среды в другую в точке $P(x, 0)$ на границе раздела.

Длина пути света в первой среде (отрезок AP) равна:

$S_1 = \sqrt{x^2 + h_1^2}$

Длина пути света во второй среде (отрезок PB) равна:

$S_2 = \sqrt{(L-x)^2 + h_2^2}$

Время, которое требуется свету для прохождения всего пути от A до B, является функцией от координаты $\text{x}$ точки P:

$t(x) = \frac{S_1}{v_1} + \frac{S_2}{v_2} = \frac{n_1 S_1}{c} + \frac{n_2 S_2}{c} = \frac{1}{c} \left( n_1 \sqrt{x^2 + h_1^2} + n_2 \sqrt{(L-x)^2 + h_2^2} \right)$

Согласно принципу Ферма, свет выберет такой путь (то есть такое значение $\text{x}$), для которого время $t(x)$ будет минимальным. Для нахождения минимума функции $t(x)$ найдем ее производную по $\text{x}$ и приравняем ее к нулю:

$\frac{dt}{dx} = 0$

$\frac{d}{dx} \left[ \frac{1}{c} \left( n_1 \sqrt{x^2 + h_1^2} + n_2 \sqrt{(L-x)^2 + h_2^2} \right) \right] = 0$

Вычисляем производную:

$\frac{1}{c} \left[ n_1 \cdot \frac{2x}{2\sqrt{x^2 + h_1^2}} + n_2 \cdot \frac{2(L-x)(-1)}{2\sqrt{(L-x)^2 + h_2^2}} \right] = 0$

После сокращения получаем:

$n_1 \frac{x}{\sqrt{x^2 + h_1^2}} - n_2 \frac{L-x}{\sqrt{(L-x)^2 + h_2^2}} = 0$

Отсюда следует:

$n_1 \frac{x}{\sqrt{x^2 + h_1^2}} = n_2 \frac{L-x}{\sqrt{(L-x)^2 + h_2^2}}$

Теперь свяжем полученные геометрические соотношения с углами падения и преломления. Угол падения $\alpha$ — это угол между падающим лучом AP и нормалью к границе раздела (осью Oy). Из геометрии задачи (прямоугольный треугольник с катетами $\text{x}$ и $h_1$) имеем:

$\sin\alpha = \frac{x}{S_1} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + h_1^2}}$

Аналогично, угол преломления $\beta$ — это угол между преломленным лучом PB и нормалью. Из прямоугольного треугольника с катетами $(L-x)$ и $h_2$ имеем:

$\sin\beta = \frac{L-x}{S_2} = \frac{L-x}{\sqrt{(L-x)^2 + h_2^2}}$

Подставив эти выражения в уравнение, полученное из условия минимума времени, получаем:

$n_1 \sin\alpha = n_2 \sin\beta$

Это выражение является законом преломления света, также известным как закон Снеллиуса. Также из нашего рассмотрения следует, что падающий луч (AP), преломленный луч (PB) и перпендикуляр к границе раздела, проведенный в точке падения (P), лежат в одной плоскости (плоскости $\text{xy}$), так как мы искали точку P на одной прямой (оси Ox).

Ответ:

На основе принципа Ферма, который утверждает, что свет распространяется по пути наименьшего времени, был выведен закон преломления. Время прохождения света $\text{t}$ от точки A в среде с показателем преломления $n_1$ до точки B в среде с показателем $n_2$ через точку P на плоской границе раздела является функцией $t(x)$ от положения точки P. Условие минимума времени $\frac{dt}{dx} = 0$ приводит к соотношению $n_1 \sin\alpha = n_2 \sin\beta$, где $\alpha$ — угол падения, а $\beta$ — угол преломления. Это и есть закон преломления света.