Номер 7.92, страница 158 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 7. Геометрическая оптика. Преломление света. Полное внутреннее отражение - номер 7.92, страница 158.

Условие.

7.92. На рисункку 7.20 показан ход луча при переходе через границы раздела сред. Определите:

а) как соотносятся показатели преломления сред;

б) абсолютные показатели преломления сред, если оптически наименее плотная среда - воздух.

Решение.

а) как соотносятся показатели преломления сред

Закон преломления света (закон Снеллиуса) связывает углы падения $\alpha$ и преломления $\beta$ с показателями преломления сред $n_1$ и $n_2$: $n_1 \sin\alpha = n_2 \sin\beta$. Углы отсчитываются от перпендикуляра (нормали) к границе раздела сред.

Если луч света при переходе в другую среду приближается к нормали, это означает, что угол преломления меньше угла падения ($\beta < \alpha$). Из закона Снеллиуса следует, что в этом случае вторая среда является оптически более плотной, то есть её показатель преломления больше ($n_2 > n_1$).

Проанализируем ход луча на каждой границе раздела сред по рисунку:

1. При переходе из среды с показателем преломления $n_1$ в среду с показателем $n_2$ луч отклоняется, приближаясь к нормали. Следовательно, $n_2 > n_1$.

2. При переходе из среды $n_2$ в среду $n_3$ луч снова приближается к нормали. Следовательно, $n_3 > n_2$.

3. При переходе из среды $n_3$ в среду $n_4$ луч опять-таки приближается к нормали. Следовательно, $n_4 > n_3$.

Объединяя полученные неравенства, получаем итоговое соотношение для показателей преломления:

$n_1 < n_2 < n_3 < n_4$.

Ответ: Показатели преломления сред соотносятся следующим образом: $n_1 < n_2 < n_3 < n_4$.

б) абсолютные показатели преломления сред, если оптически наименее плотная среда — воздух

Дано:
Оптически наименее плотная среда — воздух.
Абсолютный показатель преломления воздуха $n_{возд} \approx 1$.

Найти:
Абсолютные показатели преломления сред $n_1$, $n_2$, $n_3$, $n_4$.

Решение:

Из соотношения, полученного в пункте а), следует, что среда 1 имеет наименьший показатель преломления. По условию, это воздух, следовательно, $n_1 = 1$.

Поскольку все границы раздела сред параллельны, для всей системы можно применить обобщенный закон Снеллиуса: $n \sin\theta = \text{const}$. То есть $n_1 \sin\alpha_1 = n_2 \sin\beta_1 = n_3 \sin\beta_2 = n_4 \sin\beta_3$, где $\alpha_1$ — угол падения на первую границу, а $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ — углы преломления в средах 2, 3 и 4 соответственно.

Определим тангенсы этих углов по сетке на рисунке, считая угол от нормали (вертикали). Тангенс угла равен отношению горизонтального смещения ($\Delta x$) к вертикальному ($\Delta y$).

1. Среда 1 (угол $\alpha_1$): $\Delta x = 3$, $\Delta y = 1$. $\tan\alpha_1 = 3/1 = 3$.

2. Среда 2 (угол $\beta_1$): $\Delta x = 2$, $\Delta y = 1$. $\tan\beta_1 = 2/1 = 2$.

3. Среда 3 (угол $\beta_2$): $\Delta x = 3$, $\Delta y = 2$. $\tan\beta_2 = 3/2 = 1.5$.

4. Среда 4 (угол $\beta_3$): $\Delta x = 1$, $\Delta y = 1$. $\tan\beta_3 = 1/1 = 1$.

Зная тангенсы, найдем синусы углов, используя формулу $\sin\theta = \frac{\tan\theta}{\sqrt{1+\tan^2\theta}}$:

$\sin\alpha_1 = \frac{3}{\sqrt{1+3^2}} = \frac{3}{\sqrt{10}}$

$\sin\beta_1 = \frac{2}{\sqrt{1+2^2}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$

$\sin\beta_2 = \frac{3/2}{\sqrt{1+(3/2)^2}} = \frac{3/2}{\sqrt{13/4}} = \frac{3}{\sqrt{13}}$

$\sin\beta_3 = \frac{1}{\sqrt{1+1^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Теперь, используя соотношение $n_1 \sin\alpha_1 = n_k \sin\beta_{k-1}$, найдем показатели преломления $n_2, n_3, n_4$.

Находим $n_2$ из $n_1 \sin\alpha_1 = n_2 \sin\beta_1$:
$1 \cdot \frac{3}{\sqrt{10}} = n_2 \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} \implies n_2 = \frac{3}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} = \frac{3\sqrt{5}}{2\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{5}}{2\sqrt{2}\sqrt{5}} = \frac{3}{2\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{4} \approx 1.06$

Находим $n_3$ из $n_1 \sin\alpha_1 = n_3 \sin\beta_2$:
$1 \cdot \frac{3}{\sqrt{10}} = n_3 \cdot \frac{3}{\sqrt{13}} \implies n_3 = \frac{3}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{13}}{3} = \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{10}} = \sqrt{1.3} \approx 1.14$

Находим $n_4$ из $n_1 \sin\alpha_1 = n_4 \sin\beta_3$:
$1 \cdot \frac{3}{\sqrt{10}} = n_4 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \implies n_4 = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{5}\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5} \approx 1.34$

Ответ: Абсолютные показатели преломления сред: $n_1 = 1$; $n_2 = \frac{3\sqrt{2}}{4} \approx 1.06$; $n_3 = \sqrt{1.3} \approx 1.14$; $n_4 = \frac{3\sqrt{5}}{5} \approx 1.34$.