Номер 7.100, страница 159 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 7. Геометрическая оптика. Преломление света. Полное внутреннее отражение - номер 7.100, страница 159.

Условие.

7.100. В дно пруда вертикально вбита свая высотой 2,5 м так, что она целиком находится под водой. Определите длину тени, отбрасываемой сваей на дно водоёма, если угол падения лучей на поверхность воды равен 60°.

Решение.

Дано:

Высота сваи, $h = 2,5$ м

Угол падения лучей, $\alpha = 60°$

Показатель преломления воздуха, $n_1 = 1$

Показатель преломления воды, $n_2 = 1,33$

Найти:

Длину тени, $L - ?$

Решение:

Когда солнечные лучи переходят из воздуха в воду, они преломляются. Угол преломления $\beta$ можно найти с помощью закона Снеллиуса:

$n_1 \sin \alpha = n_2 \sin \beta$

где $\alpha$ - угол падения, $\beta$ - угол преломления, $n_1$ и $n_2$ - показатели преломления воздуха и воды соответственно.

Выразим синус угла преломления:

$\sin \beta = \frac{n_1}{n_2} \sin \alpha$

Подставим известные значения:

$\sin \beta = \frac{1}{1,33} \sin 60° = \frac{1}{1,33} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx \frac{0,866}{1,33} \approx 0,651$

Вертикально вбитая свая, ее тень на дне водоема и преломленный луч света, проходящий через верхушку сваи, образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике высота сваи $\text{h}$ является катетом, прилежащим к углу $\beta$ (если считать угол от вертикали), а длина тени $\text{L}$ - противолежащим катетом.

Соотношение между катетами и углом $\beta$ в прямоугольном треугольнике выражается через тангенс:

$\tan \beta = \frac{L}{h}$

Отсюда длина тени равна:

$L = h \tan \beta$

Зная синус угла, найдем его тангенс, используя тригонометрическое тождество $\tan \beta = \frac{\sin \beta}{\cos \beta} = \frac{\sin \beta}{\sqrt{1 - \sin^2 \beta}}$:

$\tan \beta = \frac{0,651}{\sqrt{1 - 0,651^2}} = \frac{0,651}{\sqrt{1 - 0,4238}} = \frac{0,651}{\sqrt{0,5762}} \approx \frac{0,651}{0,759} \approx 0,858$

Теперь можем рассчитать длину тени:

$L = 2,5 \, \text{м} \cdot 0,858 \approx 2,145 \, \text{м}$

Округлим результат до двух значащих цифр после запятой.

Ответ: длина тени, отбрасываемой сваей, составляет примерно $2,15$ м.