Номер 7.101, страница 159 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 7. Геометрическая оптика. Преломление света. Полное внутреннее отражение - номер 7.101, страница 159.

Условие.

7.101. В дно реки вбит столб, часть которого высотой 1 м возвышается над поверхностью воды. Найдите длину тени столба на поверхности воды и на дне реки, если высота Солнца над горизонтом 30°, а глубина реки 2 м.

Решение.

Дано:

Высота столба над водой, $h_1 = 1$ м

Глубина реки, $h_2 = 2$ м

Высота Солнца над горизонтом, $α = 30°$

Показатель преломления воздуха, $n_{воз} = 1$

Показатель преломления воды (справочное значение), $n_{вод} \approx 1.33$ или $4/3$

Все величины даны в системе СИ, перевод не требуется.

Найти:

Длину тени столба на поверхности воды - $L_{пов}$

Длину тени столба на дне реки - $L_{дна}$

Решение:

Длина тени столба на поверхности воды

Тень на поверхности воды отбрасывает та часть столба, которая возвышается над водой. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный надводной частью столба (катет $h_1$), ее тенью на поверхности воды (катет $L_{пов}$) и солнечным лучом. Угол между солнечным лучом и горизонтальной поверхностью воды равен высоте Солнца над горизонтом $α$.

Из определения тангенса в прямоугольном треугольнике следует:

$ \tan \alpha = \frac{h_1}{L_{пов}} $

Отсюда выражаем и вычисляем длину тени на поверхности:

$ L_{пов} = \frac{h_1}{\tan \alpha} = \frac{1 \text{ м}}{\tan 30^{\circ}} = \frac{1}{1/\sqrt{3}} = \sqrt{3} \text{ м} \approx 1.73 \text{ м} $

Ответ: $ \approx 1.73 \text{ м} $

Длина тени столба на дне реки

Полная тень на дне реки складывается из двух частей: длины тени на поверхности воды ($L_{пов}$) и горизонтального смещения тени из-за преломления солнечного луча на границе воздух-вода ($L_{прел}$).

$ L_{дна} = L_{пов} + L_{прел} $

Для нахождения $L_{прел}$ необходимо определить угол преломления луча в воде. Воспользуемся законом преломления света (законом Снеллиуса):

$ n_{воз} \sin \beta = n_{вод} \sin \gamma $

Здесь $β$ — угол падения, а $γ$ — угол преломления. Углы отсчитываются от нормали (перпендикуляра) к поверхности. Угол падения связан с высотой Солнца $α$ соотношением: $ \beta = 90^{\circ} - \alpha = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} $.

Подставим известные значения и найдем синус угла преломления:

$ 1 \cdot \sin 60^{\circ} = \frac{4}{3} \cdot \sin \gamma $

$ \sin \gamma = \frac{3}{4} \sin 60^{\circ} = \frac{3}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{8} $

Горизонтальное смещение луча $L_{прел}$ найдем из прямоугольного треугольника, образованного преломленным лучом в воде, где катетами являются глубина реки $h_2$ и искомое смещение $L_{прел}$. Угол, прилежащий к катету $h_2$, равен углу преломления $γ$.

$ \tan \gamma = \frac{L_{прел}}{h_2} \implies L_{прел} = h_2 \tan \gamma $

Выразим $ \tan \gamma $ через $ \sin \gamma $, используя основное тригонометрическое тождество: $ \tan \gamma = \frac{\sin \gamma}{\cos \gamma} = \frac{\sin \gamma}{\sqrt{1 - \sin^2 \gamma}} $.

$ L_{прел} = h_2 \cdot \frac{\frac{3\sqrt{3}}{8}}{\sqrt{1 - (\frac{3\sqrt{3}}{8})^2}} = 2 \cdot \frac{\frac{3\sqrt{3}}{8}}{\sqrt{1 - \frac{27}{64}}} = 2 \cdot \frac{\frac{3\sqrt{3}}{8}}{\sqrt{\frac{37}{64}}} = 2 \cdot \frac{3\sqrt{3}}{8} \cdot \frac{8}{\sqrt{37}} = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{37}} \text{ м} \approx 1.71 \text{ м} $

Теперь находим общую длину тени на дне:

$ L_{дна} = L_{пов} + L_{прел} = \sqrt{3} + \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{37}} \approx 1.73 \text{ м} + 1.71 \text{ м} = 3.44 \text{ м} $

Ответ: $ \approx 3.44 \text{ м} $