Номер 7.80, страница 156 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 7. Геометрическая оптика. Отражение света. Плоское зеркало - номер 7.80, страница 156.

Условие.

7.80. Над центром круглого бассейна радиусом 5 м, залитого до краев водой, висит лампа. Максимальное расстояние от края бассейна, на которое может отойти человек ростом 1,8 м, чтобы ещё видеть изображение лампы в воде, равно 3 м. На каком расстоянии от своих глаз наблюдатель видит изображение лампы?

Решение.

Дано:

Радиус бассейна $R = 5$ м

Рост человека (уровень глаз) $h = 1,8$ м

Максимальное расстояние от края бассейна $L = 3$ м

Найти:

Расстояние от глаз наблюдателя до изображения лампы $\text{d}$ - ?

Решение:

Изображение лампы в воде является мнимым. Поверхность воды действует как плоское зеркало, поэтому изображение S' находится на такой же глубине $\text{H}$ под водой, на какой лампа S висит над водой. Лампа висит над центром бассейна, поэтому ее мнимое изображение будет находиться под центром бассейна.

Условие, что человек отошел на максимальное расстояние от края, чтобы еще видеть изображение, означает, что световой луч от лампы отражается от самого края бассейна (точка P) и попадает в глаз наблюдателя (точка N). При отражении от плоской поверхности мнимое изображение S', точка отражения P и глаз наблюдателя N лежат на одной прямой.

Введем систему координат: начало в центре бассейна на поверхности воды, ось OY направлена вертикально вверх, ось OX — горизонтально. В этой системе координаты будут:

- Глаз наблюдателя N: $(R+L, h)$

- Точка отражения на краю бассейна P: $(R, 0)$

- Мнимое изображение лампы S': $(0, -H)$

Так как точки S', P и N лежат на одной прямой, то тангенс угла наклона этой прямой к оси OX постоянен. Это приводит к подобию двух прямоугольных треугольников, образованных отрезками S'P и PN и соответствующими проекциями на оси. Из подобия следует соотношение:

$\frac{H}{R} = \frac{h}{L}$

Из этой пропорции найдем высоту лампы $\text{H}$ над водой:

$H = \frac{R \cdot h}{L} = \frac{5 \text{ м} \cdot 1,8 \text{ м}}{3 \text{ м}} = 3 \text{ м}$

Искомое расстояние $\text{d}$ — это длина отрезка, соединяющего глаз наблюдателя N и мнимое изображение лампы S'. Эту длину можно найти по теореме Пифагора для большого прямоугольного треугольника, катетами которого являются горизонтальное расстояние от наблюдателя до вертикальной оси, проходящей через центр бассейна, $(R+L)$, и суммарное вертикальное расстояние от мнимого изображения до уровня глаз, $(H+h)$.

$d = \sqrt{(R+L)^2 + (H+h)^2}$

Подставим числовые значения:

$R+L = 5 \text{ м} + 3 \text{ м} = 8 \text{ м}$

$H+h = 3 \text{ м} + 1,8 \text{ м} = 4,8 \text{ м}$

$d = \sqrt{(8 \text{ м})^2 + (4,8 \text{ м})^2} = \sqrt{64 + 23,04} \text{ м} = \sqrt{87,04} \text{ м}$

Вычислим окончательное значение и округлим его с учетом точности исходных данных (две значащие цифры):

$d \approx 9,3 \text{ м}$

Ответ: $9,3$ м.