Номер 7.77, страница 155 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 7. Геометрическая оптика. Отражение света. Плоское зеркало - номер 7.77, страница 155.

Условие.

7.77. На какой высоте $\text{H}$ находится воздушный шар, если человек ростом $\text{h}$, стоящий на берегу озера, видит его по направлению, составляющему угол $\alpha$ с горизонтом, а отражение шара в озере — под углом $\beta$ к горизонту (рис. 7.16)?

Решение.

Дано:

$\text{h}$ - рост человека;

$\alpha$ - угол, под которым виден шар относительно горизонта;

$\beta$ - угол, под которым видно отражение шара относительно горизонта.

Найти:

$\text{H}$ - высота, на которой находится шар.

Решение:

Построим геометрическую модель задачи. Пусть глаза человека находятся в точке $\text{A}$ на высоте $\text{h}$ над поверхностью озера. Шар находится в точке $\text{B}$ на высоте $\text{H}$ над поверхностью озера. Отражение шара в воде (которое является плоским зеркалом) будет мнимым и расположится в точке $B'$ на глубине $\text{H}$ под поверхностью воды. Пусть $\text{L}$ - это горизонтальное расстояние от наблюдателя до шара.

Прямой луч зрения от глаз наблюдателя (точка $\text{A}$) до шара (точка $\text{B}$) образует угол $\alpha$ с горизонталью. Рассмотрим прямоугольный треугольник, у которого горизонтальный катет равен $\text{L}$, а вертикальный катет равен разности высот шара и глаз наблюдателя, то есть $H - h$. Из определения тангенса угла в прямоугольном треугольнике следует:

$\tan \alpha = \frac{H - h}{L}$

Отсюда можно выразить горизонтальное расстояние $\text{L}$:

$L = \frac{H - h}{\tan \alpha}$ (1)

Луч зрения от глаз наблюдателя (точка $\text{A}$) до отражения шара (точка $B'$) образует угол $\beta$ с горизонталью. Рассмотрим второй прямоугольный треугольник, у которого горизонтальный катет также равен $\text{L}$, а вертикальный катет равен сумме высоты глаз наблюдателя и глубины отражения, то есть $h + H$. Из определения тангенса следует:

$\tan \beta = \frac{H + h}{L}$

Отсюда также выразим расстояние $\text{L}$:

$L = \frac{H + h}{\tan \beta}$ (2)

Поскольку горизонтальное расстояние $\text{L}$ в обоих случаях одно и то же, мы можем приравнять правые части уравнений (1) и (2):

$\frac{H - h}{\tan \alpha} = \frac{H + h}{\tan \beta}$

Теперь решим это уравнение относительно искомой высоты $\text{H}$:

$(H - h) \tan \beta = (H + h) \tan \alpha$

Раскроем скобки:

$H \tan \beta - h \tan \beta = H \tan \alpha + h \tan \alpha$

Сгруппируем члены с $\text{H}$ в левой части уравнения, а остальные члены — в правой:

$H \tan \beta - H \tan \alpha = h \tan \beta + h \tan \alpha$

Вынесем $\text{H}$ и $\text{h}$ за скобки:

$H (\tan \beta - \tan \alpha) = h (\tan \beta + \tan \alpha)$

Наконец, выразим $\text{H}$:

$H = h \frac{\tan \beta + \tan \alpha}{\tan \beta - \tan \alpha}$

Ответ: $H = h \frac{\tan \beta + \tan \alpha}{\tan \beta - \tan \alpha}$.