Номер 7.79, страница 156 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 7. Геометрическая оптика. Отражение света. Плоское зеркало - номер 7.79, страница 156.

Условие.

7.79. Человек ростом 160 см, стоящий на берегу озера, видит в гладкой поверхности воды изображение Солнца, высота которого над горизонтом составляет 25°. Когда человек присел (понизил уровень глаз), изображение Солнца приблизилось к нему на 120 см. На сколько был понижен уровень глаз?

Решение.

Дано:

$h_1 = 160 \text{ см} = 1.6 \text{ м}$
$\alpha = 25^\circ$
$\Delta x = 120 \text{ см} = 1.2 \text{ м}$

Найти:

$\Delta h - ?$

Решение:

Изображение Солнца, которое видит человек, образуется в результате отражения солнечных лучей от гладкой поверхности воды. Поверхность воды действует как плоское зеркало. Согласно закону отражения света, угол падения равен углу отражения. Поскольку Солнце находится очень далеко, падающие лучи можно считать параллельными.

Пусть $h_1$ — начальная высота глаз человека над поверхностью воды, а $\alpha$ — высота Солнца над горизонтом. Луч света, идущий от Солнца, падает на воду под углом $\alpha$ к горизонту, отражается и попадает в глаз человека. Угол между отраженным лучом и поверхностью воды также будет равен $\alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, катетами которого являются высота глаз человека ($h_1$) и горизонтальное расстояние от человека до точки отражения на воде ($x_1$). Угол, прилежащий к катету $x_1$ (угол, под которым человек видит отражение), равен $\alpha$.

Тогда справедливо соотношение:$ \tan(\alpha) = \frac{h_1}{x_1} $

Отсюда начальное горизонтальное расстояние до точки отражения:$ x_1 = \frac{h_1}{\tan(\alpha)} $

Когда человек присел, высота его глаз уменьшилась и стала равной $h_2$. Точка отражения на воде сместилась и стала находиться на новом горизонтальном расстоянии $x_2$ от человека. Угол $\alpha$ при этом не изменился, так как высота Солнца над горизонтом осталась прежней.

Для нового положения справедливо аналогичное соотношение:$ \tan(\alpha) = \frac{h_2}{x_2} $

Отсюда новое расстояние до точки отражения:$ x_2 = \frac{h_2}{\tan(\alpha)} $

По условию задачи, изображение приблизилось к человеку на $\Delta x = 120$ см. Это означает, что разница между начальным и конечным расстояниями до точки отражения равна $\Delta x$:$ \Delta x = x_1 - x_2 $

Подставим выражения для $x_1$ и $x_2$:$ \Delta x = \frac{h_1}{\tan(\alpha)} - \frac{h_2}{\tan(\alpha)} = \frac{h_1 - h_2}{\tan(\alpha)} $

Величина $h_1 - h_2$ есть искомое понижение уровня глаз, обозначим его $\Delta h$.$ \Delta h = h_1 - h_2 $

Тогда получаем:$ \Delta x = \frac{\Delta h}{\tan(\alpha)} $

Выразим отсюда $\Delta h$:$ \Delta h = \Delta x \cdot \tan(\alpha) $

Подставим числовые значения из условия задачи:$ \Delta h = 120 \text{ см} \cdot \tan(25^\circ) $

Используя значение тангенса $ \tan(25^\circ) \approx 0.4663 $, находим:$ \Delta h \approx 120 \text{ см} \cdot 0.4663 \approx 55.96 \text{ см} $

Округлим результат до целого числа.

Ответ: уровень глаз был понижен примерно на 56 см.