Номер 10.60, страница 205 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Квантовая физика. Глава 10. Квантовая природа излучения. Давление света - номер 10.60, страница 205.

Условие.

10.60*. Существует проект запуска космических аппаратов с помощью наземного лазера. Запускаемый аппарат снабжают зеркалом, полностью отражающим лазерное излучение. Какова должна быть мощность лазера, обеспечивающего запуск по этой схеме аппарата массой 100 кг?

Решение.

Дано:

Масса космического аппарата: $m = 100 \text{ кг}$
Зеркало полностью отражает излучение.
Ускорение свободного падения: $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$
Скорость света в вакууме: $c \approx 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}$

Найти:

Мощность лазера $\text{P}$.

Решение:

Для того чтобы запустить космический аппарат, сила давления лазерного излучения $F_{давл}$ должна быть как минимум равна силе тяжести $F_g$, действующей на аппарат.

Сила тяжести, действующая на аппарат, рассчитывается по формуле:
$F_g = mg$

Свет (лазерное излучение) состоит из фотонов, каждый из которых обладает импульсом. Суммарный импульс фотонов, падающих на зеркало за время $\Delta t$, равен $p_{пад} = \frac{E}{c}$, где $\text{E}$ — энергия излучения, попавшего на зеркало за это время. Энергия связана с мощностью лазера $\text{P}$ соотношением $E = P \cdot \Delta t$.

По условию, зеркало полностью отражает лазерное излучение. Это означает, что импульс фотонов после отражения меняет свое направление на противоположное. Изменение импульса излучения при отражении от зеркала равно:
$\Delta p_{изл} = p_{отр} - p_{пад} = (-\frac{E}{c}) - (\frac{E}{c}) = -\frac{2E}{c}$

Согласно закону сохранения импульса, импульс, переданный зеркалу (и всему аппарату), равен по модулю и противоположен по направлению изменению импульса излучения:
$\Delta p_{апп} = - \Delta p_{изл} = \frac{2E}{c}$

Сила, действующая на аппарат, — это скорость изменения его импульса:
$F_{давл} = \frac{\Delta p_{апп}}{\Delta t} = \frac{2E/c}{\Delta t} = \frac{2(P \cdot \Delta t)/c}{\Delta t} = \frac{2P}{c}$

Приравниваем силу давления света к силе тяжести, чтобы найти минимальную мощность для запуска:
$F_{давл} = F_g$
$\frac{2P}{c} = mg$

Выразим из этого уравнения искомую мощность лазера $\text{P}$:
$P = \frac{mgc}{2}$

Подставим числовые значения:
$P = \frac{100 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{2} = \frac{2940 \cdot 10^8}{2} \text{ Вт} = 1470 \cdot 10^8 \text{ Вт} = 1.47 \cdot 10^{11} \text{ Вт}$

Переведем мощность в гигаватты: $1 \text{ ГВт} = 10^9 \text{ Вт}$.
$P = 1.47 \cdot 10^{11} \text{ Вт} = 147 \cdot 10^9 \text{ Вт} = 147 \text{ ГВт}$.

Ответ: Мощность лазера должна быть $1.47 \cdot 10^{11}$ Вт или 147 ГВт.