Номер 10.55, страница 204 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Квантовая физика. Глава 10. Квантовая природа излучения. Давление света - номер 10.55, страница 204.

Условие.

10.55. Пучок лазерного излучения с длиной волны $\lambda$ падает под углом $\alpha$ на поверхность. Какой импульс $\text{p}$ получает поверхность от каждого:

а) отражённого фотона;

б) поглощённого фотона?

Решение.

Дано:

Длина волны лазерного излучения: $λ$

Угол падения пучка на поверхность: $α$

Все величины представлены в символьном виде и не требуют перевода в СИ. Для расчетов также понадобится постоянная Планка $\text{h}$.

Найти:

Импульс $\text{p}$, получаемый поверхностью от:

a) отражённого фотона ($p_a$)

б) поглощённого фотона ($p_б$)

Решение:

Импульс одного фотона определяется его длиной волны $λ$ по формуле де Бройля:

$p_{ф} = \frac{h}{λ}$

где $\text{h}$ — постоянная Планка.

Согласно закону сохранения импульса, импульс, который получает поверхность, равен изменению импульса фотона, взятому с противоположным знаком: $p_{пов} = -Δp_{ф}$. Изменение импульса фотона $Δp_{ф} = p_{ф2} - p_{ф1}$, где $p_{ф1}$ — импульс фотона до взаимодействия с поверхностью, а $p_{ф2}$ — после.

Для решения задачи введём систему координат. Направим ось $\text{Ox}$ вдоль поверхности, а ось $\text{Oy}$ — перпендикулярно поверхности (по нормали) от неё. Угол $α$ дан между направлением падения фотона и поверхностью. Тогда проекции импульса падающего фотона $p_{ф1}$ на оси будут равны:

$p_{ф1x} = p_{ф} \cos(α) = \frac{h}{λ} \cos(α)$

$p_{ф1y} = -p_{ф} \sin(α) = -\frac{h}{λ} \sin(α)$

Знак "минус" у проекции на ось $\text{Oy}$ означает, что эта составляющая импульса направлена в сторону поверхности, то есть против выбранного направления оси $\text{Oy}$.

a) отражённого фотона

При зеркальном отражении тангенциальная (параллельная поверхности) составляющая импульса фотона ($p_x$) сохраняется, а нормальная (перпендикулярная поверхности) составляющая ($p_y$) изменяет своё направление на противоположное. Модуль импульса фотона при этом не меняется.

Проекции импульса отражённого фотона $p_{ф2}$:

$p_{ф2x} = p_{ф1x} = \frac{h}{λ} \cos(α)$

$p_{ф2y} = -p_{ф1y} = \frac{h}{λ} \sin(α)$

Найдём изменение импульса фотона $Δp_{ф} = p_{ф2} - p_{ф1}$ покомпонентно:

$Δp_{фx} = p_{ф2x} - p_{ф1x} = \frac{h}{λ} \cos(α) - \frac{h}{λ} \cos(α) = 0$

$Δp_{фy} = p_{ф2y} - p_{ф1y} = \frac{h}{λ} \sin(α) - (-\frac{h}{λ} \sin(α)) = 2\frac{h}{λ} \sin(α)$

Импульс, полученный поверхностью, равен $p_a = -Δp_{ф}$. Его проекции:

$p_{ax} = -Δp_{фx} = 0$

$p_{ay} = -Δp_{фy} = -2\frac{h}{λ} \sin(α)$

Это означает, что импульс, переданный поверхности, направлен перпендикулярно ей, вглубь. Модуль этого импульса равен:

$p_a = \sqrt{p_{ax}^2 + p_{ay}^2} = \sqrt{0^2 + (-2\frac{h}{λ} \sin(α))^2} = 2\frac{h}{λ} \sin(α)$

Ответ: $p_a = \frac{2h}{λ}\sin(α)$

б) поглощённого фотона

При поглощении фотон прекращает своё существование, и его конечный импульс становится равным нулю: $p_{ф2} = 0$.

Изменение импульса фотона в этом случае:

$Δp_{ф} = p_{ф2} - p_{ф1} = 0 - p_{ф1} = -p_{ф1}$

Импульс, который получает поверхность, равен:

$p_б = -Δp_{ф} = -(-p_{ф1}) = p_{ф1}$

Таким образом, поверхность получает импульс, в точности равный начальному импульсу фотона. Модуль этого импульса равен модулю импульса падающего фотона:

$p_б = |p_{ф1}| = \sqrt{p_{ф1x}^2 + p_{ф1y}^2} = \sqrt{(\frac{h}{λ} \cos(α))^2 + (-\frac{h}{λ} \sin(α))^2} = \frac{h}{λ}\sqrt{\cos^2(α) + \sin^2(α)} = \frac{h}{λ}$

Ответ: $p_б = \frac{h}{λ}$