Номер 10.49, страница 203 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Квантовая физика. Глава 10. Квантовая природа излучения. Фотон. Волновые свойства частиц - номер 10.49, страница 203.

Условие.

10.49*. Определите угол рассеяния фотона с энергией 0,8 МэВ в результате столкновения с покоившимся электроном, если известно, что:

а) длина волны рассеянного фотона равна комптоновской длине волны электрона;

б) скорость электрона отдачи составляет $0.6c$.

Решение.

Дано:

Энергия падающего фотона, $E = 0,8 \text{ МэВ}$

Электрон изначально покоится.

а) Длина волны рассеянного фотона, $\lambda' = \lambda_C$

б) Скорость электрона отдачи, $v = 0,6c$

Перевод в СИ:

$E = 0,8 \text{ МэВ} = 0,8 \cdot 10^6 \cdot 1,602 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} \approx 1,28 \cdot 10^{-13} \text{ Дж}$

$v = 0,6c = 0,6 \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с} = 1,8 \cdot 10^8 \text{ м/с}$

Справочные данные:

Энергия покоя электрона, $m_e c^2 \approx 0,511 \text{ МэВ}$

Комптоновская длина волны электрона, $\lambda_C = \frac{h}{m_e c} \approx 2,426 \cdot 10^{-12} \text{ м}$

Найти:

Угол рассеяния фотона, $\theta$

Решение:

Задача описывает эффект Комптона — упругое рассеяние фотона на свободном электроне, сопровождающееся изменением длины волны (и энергии) фотона. Изменение длины волны фотона при рассеянии на угол $\theta$ описывается формулой Комптона:

$\Delta\lambda = \lambda' - \lambda = \lambda_C (1 - \cos\theta)$

где $\lambda$ и $\lambda'$ — длины волн фотона до и после рассеяния, $\theta$ — угол рассеяния фотона, а $\lambda_C$ — комптоновская длина волны электрона, равная $\lambda_C = \frac{h}{m_e c}$.

Длина волны фотона связана с его энергией $\text{E}$ соотношением: $\lambda = \frac{hc}{E}$.

Рассмотрим каждый случай отдельно.

а) длина волны рассеянного фотона равна комптоновской длине волны электрона

По условию, $\lambda' = \lambda_C$. Подставим это в формулу Комптона:

$\lambda_C - \lambda = \lambda_C (1 - \cos\theta)$

Разделив обе части на $\lambda_C$, получим:

$1 - \frac{\lambda}{\lambda_C} = 1 - \cos\theta$

Отсюда следует, что:

$\cos\theta = \frac{\lambda}{\lambda_C}$

Выразим начальную длину волны $\lambda$ через энергию $\text{E}$, а $\lambda_C$ через энергию покоя электрона $m_e c^2$:

$\lambda = \frac{hc}{E}$

$\lambda_C = \frac{h}{m_e c} = \frac{hc}{m_e c^2}$

Тогда их отношение равно:

$\frac{\lambda}{\lambda_C} = \frac{hc/E}{hc/(m_e c^2)} = \frac{m_e c^2}{E}$

Таким образом, получаем выражение для косинуса угла рассеяния:

$\cos\theta = \frac{m_e c^2}{E}$

Подставим числовые значения, используя энергии в МэВ, что является более удобным для расчетов в данной задаче:

$E = 0,8 \text{ МэВ}$

$m_e c^2 \approx 0,511 \text{ МэВ}$

$\cos\theta = \frac{0,511 \text{ МэВ}}{0,8 \text{ МэВ}} \approx 0,6388$

Найдем угол $\theta$:

$\theta = \arccos(0,6388) \approx 50,3^\circ$

Ответ: $50,3^\circ$

б) скорость электрона отдачи составляет 0,6c

В этом случае для нахождения угла рассеяния $\theta$ нам нужно знать энергии фотона до и после рассеяния ($\text{E}$ и $E'$). Энергия падающего фотона $\text{E}$ дана. Энергию рассеянного фотона $E'$ найдем из закона сохранения энергии. Полная энергия системы до столкновения (фотон + покоящийся электрон) равна полной энергии после столкновения (рассеянный фотон + движущийся электрон):

$E + m_e c^2 = E' + E_e$

где $E_e$ - полная релятивистская энергия электрона отдачи, которая равна:

$E_e = \gamma m_e c^2 = \frac{m_e c^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$

По условию $v = 0,6c$, тогда Лоренц-фактор $\gamma$ равен:

$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - (0,6)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - 0,36}} = \frac{1}{\sqrt{0,64}} = \frac{1}{0,8} = 1,25$

Из закона сохранения энергии выразим энергию рассеянного фотона $E'$:

$E' = E + m_e c^2 - E_e = E + m_e c^2 - \gamma m_e c^2 = E - (\gamma - 1)m_e c^2$

Подставим числовые значения:

$E' = 0,8 \text{ МэВ} - (1,25 - 1) \cdot 0,511 \text{ МэВ} = 0,8 - 0,25 \cdot 0,511 = 0,8 - 0,12775 = 0,67225 \text{ МэВ}$

Теперь используем формулу Комптона, выраженную через энергии. Разделив исходное уравнение $\lambda' - \lambda = \lambda_C (1 - \cos\theta)$ на $\text{hc}$, получим:

$\frac{1}{E'} - \frac{1}{E} = \frac{1}{m_e c^2} (1 - \cos\theta)$

Выразим $(1 - \cos\theta)$:

$1 - \cos\theta = m_e c^2 \left(\frac{1}{E'} - \frac{1}{E}\right) = m_e c^2 \frac{E - E'}{E \cdot E'}$

Подставим известные значения энергий:

$1 - \cos\theta = 0,511 \text{ МэВ} \cdot \frac{0,8 \text{ МэВ} - 0,67225 \text{ МэВ}}{0,8 \text{ МэВ} \cdot 0,67225 \text{ МэВ}} = 0,511 \cdot \frac{0,12775}{0,5378} \approx 0,1214$

Отсюда найдем $\cos\theta$:

$\cos\theta \approx 1 - 0,1214 = 0,8786$

И, наконец, угол рассеяния $\theta$:

$\theta = \arccos(0,8786) \approx 28,5^\circ$

Ответ: $28,5^\circ$