Номер 10.46, страница 203 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Квантовая физика. Глава 10. Квантовая природа излучения. Фотон. Волновые свойства частиц - номер 10.46, страница 203.

Условие.

10.46*. Покажите с помощью законов сохранения, что свободный электрон не может поглотить фотон.

Решение.

Решение

Докажем это утверждение от противного. Предположим, что свободный электрон может поглотить фотон. Для удобства анализа перейдем в систему отсчета, в которой электрон до взаимодействия покоится. Этот выбор не нарушает общности доказательства, так как законы сохранения инвариантны относительно перехода между инерциальными системами отсчета.

Пусть до взаимодействия электрон покоится. Его энергия равна энергии покоя $E_1 = m_e c^2$, а его импульс равен нулю, $\vec{p}_1 = 0$. Фотон обладает энергией $E_ф$ и импульсом $\vec{p}_ф$, модуль которого равен $p_ф = E_ф / c$.

После поглощения фотона образуется только электрон, который будет обладать некоторой энергией $E_2$ и импульсом $\vec{p}_2$.

Согласно закону сохранения энергии, полная энергия системы до взаимодействия должна быть равна полной энергии после взаимодействия:
$E_1 + E_ф = E_2$
$m_e c^2 + E_ф = E_2$

Согласно закону сохранения импульса, суммарный импульс системы также должен сохраняться:
$\vec{p}_1 + \vec{p}_ф = \vec{p}_2$
Поскольку $\vec{p}_1 = 0$, то $\vec{p}_ф = \vec{p}_2$.
Из этого следует, что модули импульсов равны: $p_ф = p_2$. Подставляя выражение для импульса фотона, получаем $p_2 = E_ф / c$.

Теперь используем основное релятивистское соотношение, связывающее энергию и импульс частицы, для электрона после поглощения фотона:
$E_2^2 = (p_2 c)^2 + (m_e c^2)^2$

Подставим в это соотношение выражения для $E_2$ и $p_2$, полученные из законов сохранения:
$(m_e c^2 + E_ф)^2 = \left(\frac{E_ф}{c} \cdot c\right)^2 + (m_e c^2)^2$

Раскроем скобки в левой части и упростим правую часть:
$(m_e c^2)^2 + 2 m_e c^2 E_ф + E_ф^2 = E_ф^2 + (m_e c^2)^2$

Сократим одинаковые члены $(m_e c^2)^2$ и $E_ф^2$ в обеих частях уравнения:
$2 m_e c^2 E_ф = 0$

Масса покоя электрона $m_e$ не равна нулю ($m_e \approx 9.11 \times 10^{-31}$ кг), и скорость света $\text{c}$ также не равна нулю. Следовательно, произведение $2 m_e c^2$ является ненулевой константой. Это означает, что для выполнения равенства необходимо, чтобы энергия фотона была равна нулю: $E_ф = 0$.

Фотон с нулевой энергией не существует; это эквивалентно отсутствию фотона. Таким образом, наше предположение о том, что свободный электрон может поглотить фотон (с ненулевой энергией), привело к логическому противоречию. Следовательно, такой процесс невозможен.

Ответ: Процесс поглощения фотона свободным электроном нарушает одновременное выполнение законов сохранения энергии и импульса, а потому невозможен. Для того чтобы поглощение фотона электроном произошло, необходимо участие третьего тела (например, атомного ядра), которое воспримет часть импульса, позволяя выполнить оба закона сохранения.