Номер 10.40, страница 202 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Квантовая физика. Глава 10. Квантовая природа излучения. Фотон. Волновые свойства частиц - номер 10.40, страница 202.

Условие.

10.40. Найдите длину волны де Бройля для:

а) электрона, движущегося со скоростью $10^8 \text{ см/с;}$

б) атома водорода, движущегося со скоростью, равной среднеквадратичной скорости при температуре $300 \text{ K;}$

в) шарика массой $1 \text{ г,}$ движущегося со скоростью $1 \text{ см/с.}$

Решение.

Дано:

а) Скорость электрона, $v_a = 10^8$ см/с = $10^6$ м/с
б) Температура атомов водорода, $T = 300$ К
в) Масса шарика, $m_c = 1$ г = $10^{-3}$ кг
в) Скорость шарика, $v_c = 1$ см/с = $10^{-2}$ м/с

Справочные данные:
Постоянная Планка, $h = 6.626 \cdot 10^{-34}$ Дж·с
Масса электрона, $m_e = 9.11 \cdot 10^{-31}$ кг
Масса атома водорода, $m_H \approx 1.67 \cdot 10^{-27}$ кг
Постоянная Больцмана, $k = 1.38 \cdot 10^{-23}$ Дж/К

Найти:

Длины волн де Бройля: $\lambda_a$ — для электрона, $\lambda_b$ — для атома водорода, $\lambda_c$ — для шарика.

Решение:

Длина волны де Бройля для любой частицы, обладающей импульсом $\text{p}$, вычисляется по формуле:
$\lambda = \frac{h}{p}$
Для нерелятивистской частицы, движущейся со скоростью $\text{v}$ и имеющей массу $\text{m}$, импульс равен $p = mv$. Таким образом, формула принимает вид:
$\lambda = \frac{h}{mv}$

а) Найдем длину волны де Бройля для электрона. Скорость электрона $v_a = 10^6$ м/с мала по сравнению со скоростью света ($c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с), поэтому используем нерелятивистскую формулу.
$\lambda_a = \frac{h}{m_e v_a} = \frac{6.626 \cdot 10^{-34} \text{ Дж·с}}{9.11 \cdot 10^{-31} \text{ кг} \cdot 10^6 \text{ м/с}} \approx 0.727 \cdot 10^{-9} \text{ м}$
Переведем метры в нанометры ($1 \text{ нм} = 10^{-9} \text{ м}$):
$\lambda_a = 0.727$ нм.
Ответ: $\lambda_a = 0.727$ нм.

б) Найдем длину волны де Бройля для атома водорода. Сначала определим его среднеквадратичную скорость $v_{ск}$ при температуре $T = 300$ К. Согласно молекулярно-кинетической теории, средняя кинетическая энергия поступательного движения атома равна $\frac{m_H v_{ск}^2}{2} = \frac{3}{2}kT$.
Отсюда скорость:
$v_{ск} = \sqrt{\frac{3kT}{m_H}}$
Подставим это выражение в формулу для длины волны де Бройля:
$\lambda_b = \frac{h}{m_H v_{ск}} = \frac{h}{m_H \sqrt{\frac{3kT}{m_H}}} = \frac{h}{\sqrt{3kTm_H}}$
Выполним расчет:
$\lambda_b = \frac{6.626 \cdot 10^{-34}}{\sqrt{3 \cdot 1.38 \cdot 10^{-23} \cdot 300 \cdot 1.67 \cdot 10^{-27}}} = \frac{6.626 \cdot 10^{-34}}{\sqrt{2.074 \cdot 10^{-47}}} \approx \frac{6.626 \cdot 10^{-34}}{4.55 \cdot 10^{-24}} \approx 1.46 \cdot 10^{-10}$ м.
Переведем метры в нанометры:
$\lambda_b = 0.146$ нм.
Ответ: $\lambda_b = 0.146$ нм.

в) Найдем длину волны де Бройля для шарика.
$\lambda_c = \frac{h}{m_c v_c} = \frac{6.626 \cdot 10^{-34} \text{ Дж·с}}{10^{-3} \text{ кг} \cdot 10^{-2} \text{ м/с}} = \frac{6.626 \cdot 10^{-34}}{10^{-5}} = 6.626 \cdot 10^{-29}$ м.
Эта длина волны чрезвычайно мала и находится далеко за пределами возможностей для экспериментального обнаружения, что иллюстрирует применимость квантовой механики в основном к микромиру.
Ответ: $\lambda_c = 6.626 \cdot 10^{-29}$ м.